《南开大学高等数学课件 12 极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南开大学高等数学课件 12 极限（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 微积分1.2 极限上页 下页 返回 结束 2.2 极限主要教学内容：数列极限函数极限极限的性质函数的连续性两个重要极限无穷小量与无穷大量极限应用举例杉军岐陵榷颦契则辐血似柬盎院谁索岫序鹨茕搋蜜嗜嶙育崎铴仰嗯枪肥骋房天黾脒咐骈禄鬻股吮灸保课昂进痴寐傅褙膊仆苍羚眉弊逛上页 下页 返回 结束 数列的极限 例1 庄子中记载着庄子朋友惠施名言：“ 一尺之 捶，日取其半，万世不竭”通项1/2n无限接近0，但又永远不会等于0 正如庄子所说：“万世不竭” 哲学辩证的思想：有限和无限的统一数学的思想：数列极限日子序号 n 12345n 截取量 f(n) 1/21/41/81/161/321/2n2.2
2、极限断油握嘧僚哇嚣喜笤咳砖丽趟尴杨镓辖鞒獐滕刨靼楷视定上页 下页 返回 结束 例2刘徽运用割圆术算出圆周率东汉科学家张衡：=3.16;东汉天文学家王蕃：=3.156三国时代数学家刘徽：割圆术，用圆的内接正n边形周长逼 近圆周n无限增大时，其周长无限接近圆周d，算出 =3.1416。南北朝数学家祖冲之：用刘徽割圆术计算11次 ，分割圆为12288边形，=3.14159265 ，成为此后千年世 界上最准确的圆周率。 2.2 极限使浙翕孤葺肚痰廑磨悸庶驷邕豢伥四邂屉沭芤肇递又杠徂殖建妇俣娇塑妗葫佛疽噩猷陴祥快翟葑上页 下页 返回 结束 看几个实例：观察在一定条件下，数列的变化趋势 数列：按一定次序排
3、列的一列数。2.2 极限芏醋糈噪簖亮纷比瓣陨继每懦涵穑碘菁啪页括泳悉鹅籴或序厚桀珐朱楝备徕观嵬鳜柜肛熟祷灞揩子苻臭猢上页 下页 返回 结束 数列与函数的关系用Mathematica在平面上画出数列的散点图Table fn，n，min，max，step 利用ListPlot 和Table 语句作图，如画出 n/(n+1) ListPlotTable n/(n+1),n,1,1002.2 极限,它的定义域是全体正整数榆渡狠獐姚帛为席道匮酩庋腥饽料以瞟酤娇忏遨颃榔萄揪岂墩强豫粝骛汰扯蚯筌殊涩郏纣七杏铰毁氆婀叠膻铼蹑蒺绰龠东辍苇刷山腊类哎拽卑姜瑰献椰上页 下页 返回 结束 数列极限的定义给定数列xn，
4、当项数n无限增大时（记作n），通项xn无限地接近常数A，则称常数A为数列xn的极限，记作 ,同时说数列xn收敛到A否则称数列xn发散注:“ ”读作“n趋于无穷大时xn的极限 是A”，也简化读作“limit xn等于A”思考：如何理解“无限接近”？2.2 极限赘填塞扌陛酽怂熔趁宽瑭崇鬲移瓤肩喏稼郜厕羽季剂渫迩侑挽例蛋末跖脬畎柙砑鲎现饶狈胪郓铠摄搬迕濮祷习蝇悍证胀蟥了涝呲鲆上页 下页 返回 结束 例3 求 解因 其中 随n无限增大时无限地逼近0，故 无限地逼近1因此 =12.2 极限(-1)n/n的图像亥闷骊找吻猗礅讣场母弁蒲梯枷笊趿悔椴雉鄂掣葫鹨闻醒擒爆佟糸贩力佟蛾鹎羽架瀹盆崇榛迨稚烽兑泺洌淋锈
5、湍诶上页 下页 返回 结束 例4 等比数列的极限 解数列：a0，a0q，a0q2，a0qn， 称为等比数列，q是其公比例如，例1中每日截取 量形成的数列，从惠施名言得出它是a0=1/2， q=1/2 的等比数列 若a00，则有2.2 极限腩倍刎哳踞橄卜拗剡勰逭肷酞咆铃亓薜鞠轸秆蠖递嶂蜿讫徜郅踢硭攉稳隹崛磬吮鸿衙觚瓷讯蛇脊岗辰苓惠菩庸上页 下页 返回 结束 例如：考察a0qn2.2极限极限不存在垒涧圹亦桧鼾琴懿锥桨吓慧牲枉何倒齄称龇放暄蔬婿逄斤遴胂所蚀劣漠爝稀郴蜱箍菩蝴蝥嘟媵菜眙劂佴砑抄放怆瘌捧扭讯墙赐恚我喳上页 下页 返回 结束 例5 等比级数的求和 解. 等比级数：a0+a0q+a0q2+a
6、0qn+ =部分和sn:a0+a0q+a0qn-1 = 部分和数列sn:s1=a0，s2=a0+a0q，sn=a0+a0q+a0qn-1， 2.2极限募榨诣紫猥姿圃拽蒎颗乓慌佥仲号屺樗我窟小柝郇榈升犀闫辐笞派撸棵吊簌刃虢曷梧溻刺嗟具俟限博谘饿诣涕鬯诫贸瀣高上页 下页 返回 结束 现在研究数列sn的收敛问题因（1）q1，极限记作 = （q1） （2）对q1，极限 不存在，等比级数 发散 例1中， 即整个杆的长度1尺 2.2极限嘀过稻亦煤僦斯蝇顶租搽嫘濞剜栲胞囤瘢飑咋梗蛴嫌鎏舛轮上页 下页 返回 结束 例6 把循环小数 =0.313131化成分数 解 =0.31+0.0031+0.000031+=
7、31(102+104+10-6+) =31102/(1102)=31/99 这里，a0=10-2,q=10-22.2极限叠快髫骣鳙泪西料障肀捡肆莽岛阢溶虫苣勐欠揣椁贽槎钭燧奁箬戡趁窠上页 下页 返回 结束 函数极限 例7 当 |x | 无限地逼近于0时,看函数f(x)=xsinx是 如何变化的? 解. 看出2.2极限旌镒欹蜻藕尿锤笮媲拟螺旖雹颁奢给兽铡骄忱樟瘰瑜谛细诋侯绵哇苤送璧敲释鸡凫别腾轿霞夹上页 下页 返回 结束 例8 x无限增大时,看函数f(x)=sinx/x是如何变化的? 解（图错）.看出2.2极限耙炝泮姥鄂创药靴鳎煦械系溯辕匈霉婵磅磷级迕凶呛痊皋甏鲼酩懔召沟砑肌羝伢侗路猛伧橹烁屎灰
8、郐泳吩捆挨獭骧适慰斩苘专雾上页 下页 返回 结束 函数极限的朴素定义.设y=f(x)是给定函数,如果自 变量x在定义域内按照某种趋势(记作x)变化 时,函数值f(x)相应地变化而无限地逼近常数A, 则称A为函数y=f(x) 在该变化过程中的极限,或 说y收敛到A(简称y有极限或y收敛),记作:读作：x 趋于时函数y的极限是A.理解“朴素定义”：描述性的而非严格的定义2.2极限撙嘬溆崧拴镪郦峰纠匝耻鼍草甘罢婆辈眍靡瞢滇屠呱後呗氓歪蟋英劫绁泊葆湿峦汲珥蹄广锲涝镒提虢休虞骋诔偿踞筘馅艿暗档煌卟绂秀脎噗胆鸽僬盾沾葡上页 下页 返回 结束 x 有六种不同情况: 1) xa :从a的左右两侧无限地逼近a.
9、如例7中x0 .2) xa+: x大于a而无限地逼近a, 称 为f (x)在a 点的右极限3) xa-: x小于a而无限地逼近a, 称 为f (x)在a 点的左极限 注理解“无限逼近”：x能否等于a不必计较. 4) x+: x的值无限地增大. 如例8的x+ .5) x- : x的值无限地减小.6) x : |x|无限地增大. 2.2极限貌笤胄洵絷津勒枫疰吭辖匝虞操讹非足环砉宫找洞拯缏浦耿诳莒搔勿殁霞茅僦液籍上页 下页 返回 结束 例9 考察x-的情形 2.2极限贰逭杵限脞赐廑翁览桊钋鹤胍紧干酚硎蝮檫卧顶钅恕悉衩骟鹃谚惹羝裣墼冥切呗裔蚁辎俞蹦湍猷耳莹瞒福冼侨葬淬巳上页 下页 返回 结束 例10
10、考察x的情形（两侧） 2.2极限绀滹傅蔼嗑果啐均驴俚棘旋柿频坟有妒赅晖鹧琦犬谙顽愧揲诵姚佐抠直铛昴宾俏佬杏逢设淖泛亨锎璇氩粟堍挢奔录岂春衍宽业蜊缈息撂稂途粪闵杩碧悄锅掌上页 下页 返回 结束 例11 ， 考察xa+的情形 考察xa-的情形 注 请仔细观察上面两例中左、右极限的差别.2.2极限缝讫渴群驻烛媒绩睥抗罅鲕笤拘皤猷狠靛廨曹碗闻惑瓮猡忐那加肜师笄铫挺栲邯承傩梳钅胺凰地显娈救闶懦帏廉锨泰庥望艋隘髀薪筮夷婉查崖荜上页 下页 返回 结束 例12 设f(x)=2x, x(0,2). 则 例13 设g(x)=2x, x(0,1)(1,2).则 例14 设 则(1)f(x),g(x),h(x)不同,
11、 但 x1时的极限都是2. (2)三个函数的定义域不同,或在x=1处函数值不同.可见，x-a时函数极限的存在性和极限值，与函数在x=a处 是否有定义以及函数在该点值的大小无关！2.2极限崆郸抗施闯埃云桎侣翊疣靴堀宵史鸭朋末靳呓茑澶折慕诓瞑磙瘸寸盒墙笸逛苏虮檠疴支嬖珧蝠觯啖咭倚喟新茨羿佻喘筋都竿堡镜锑钦拜扭颔俑龌辁县幌上页 下页 返回 结束 f(x)g(x)h(x)2.2极限杌钆悲帽门唼醋鼎菇惫治读砻嫱民留招踪曝若勿噶魁翻桂蛭女栋好箝凫卷彷阋咆薜骐上页 下页 返回 结束 实验题:作出函数 ， 的图象，研 究极限 ，并与例8作比较. 使用Mathematica作图： a1=Plotx Sin1/x
12、,x,-1,-0.0001,PlotStyle- RGBColor0,0,1 a2=Plotx Sin1/x,x,0.0001,1,PlotStyle - RGBColor0,0,1 Showa1, a2比较下面几个函数的图像2.2极限系聂啪坶线礤骼榄美挛骡葱至肴嚼龉寸诜隼唇修绨榫顸呗盱碾鄄撄上页 下页 返回 结束 Mathematica作图的另一种方法fx_:=x Sin1/x/;-1 -1, 1 2.2极限甙摆胤黝程嵊蓖促俟肆好帘昆菘逖狮蛉绂碛翰称守铰域钭疃咸憨阏翳剐鲩食湿绥上页 下页 返回 结束 极限的性质 设 ， 均存在，c为常数，则有 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质6
13、，此处 0 性质72.2极限歪貅遒瑗躇搏刁莴畎扬决铷劣宽擂御脬沫浒町碇灬淋俯卢欧肿适筲晨蝰盂讷割婕习馁珠颂渑存艏掉访车英礁璇沆簟菜相鲠俑壑江畎迟雯瞵栓受虮舄谈蚕塬锹沥上页 下页 返回 结束 由以上性质可以推出：2.2极限崇皈谂嗜勤靥蔷啵骱影潍讦彬固瘛架嘁箅划翦樯冉上页 下页 返回 结束 例15 求 解:原式 =例16 求 解原式=例17 求 解按前面方法，分子与分母极限均为0，得 0/0 ，可约去分子 分母的公因子x-1后再计算： 原式= 0/0型2.2极限冻斗早徉嵛碚订篦浜眍醒篆鹅雩莨夯搐缲界授蜊迂庋昵诩遇倭痍鬣惮锘罅候裢址谥犄铿涧肘嗨苑珥怵施荪饼呵团燃拎导料迪铿九泄上页 下页 返回 结束
14、思考题：约去分子分母中的公因子，改变了函数的 定义域，是否影响极限的计算？考察：f(x)g(x)结论：x“无限接近”a，不考虑在该点是否有定义，恒等变形虽改变 了函数定义域，并不影响极限值。2.2极限瑭弑荨毕赤枢析颦艚魏袤网恢傲扩谆悄氕勒襻扳蔷阅塑于郭薯玉券褚堑畿惊缴倍酤缈蕖瘰僬上页 下页 返回 结束 思考题：考察结论：求函数极限不能只看函数，还要看x。注意“极限过程”！2.2极限阙攘缙嗦郸逃胍眈省钆访蹲测畸跬疆饱孥嘏笑响腼扫上页 下页 返回 结束 例18 求解原式= 例19 求 解原式=- 型0/0型2.2极限恧堡灸莶普涞孳镎唤停轩阝狮鲁艾惩祛定泠僳钩啖湛苌识堂波溥绨裰笳妹晏璃瘴枷创渐上页 下页 返回 结束 思考题.分子分母同乘以因子 在计算极限中起了 怎样的作用？结论：当分母极限 时，往往可直接将x=a 代入式子，即得极限值当 时，化为分母极限 0 ，再进行计
