2011届高考数学变量间的相关关系复习

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1、第3课时 变量间的相关关系及统计案例1两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从 到 的区域对于两个变量的这 种相关关系，我们将它称为正相关(2)负相关在散点图中，点散布在从 到 的区域，两个变量的这种相 关关系称为负相关基础知识梳理左下角右下角左上角右上角(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上 看大致在 ，就称这两个 变量之间具有线性相关关系，这条直 线叫做回归直线 2回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到 回归直线的 的方法 叫做最小二乘法基础知识梳理一条直线附近距离的平方和最小(2)回归方程系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2 ，y2)

2、，(xn，yn)的回归方程，其中 a，b是待定参数基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理相关关系与函数关系有什么 异同点？ 【思考提示】 相同点： 两者均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种 确定的关系，相关关系是一种非 确定的关系函数关系是一种 因果关系，而相关关系不一定是 因果关系，也可能是伴随关系3回归分析 (1)定义：对具有 的两个 变量进行统计分析的一种常用方法 (2)样本点的中心 在具有线性相关关系的数据(x1， y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，回归 方程的截距和斜率的最小二乘估计公 式分别为：基础知识梳理相关关系基础知识梳理基础知识梳理正相关 负相关越强0.754独

3、立性检验 (1)分类变量的定义 如果某种变量的不同“值”表示个 体所属的不同类别，像这样的变量称 为 (2)22列联表 一般地，假设有两个分类变量X 和Y，它们的值域分别为x1，x2和y1 ，y2，其样本频数列联表(称为22列 联表)为基础知识梳理分类变量基础知识梳理y1y2总计总计x1abx2cd总计总计acbdabcdabcdK2 ，用 它的大小可以决定是否拒绝原来的统计 假设H0，如果K2值较大，就拒绝H0，即 拒绝 基础知识梳理事件A与B无关1下列两个变量之间的关系哪个不 是函数关系( ) A角度和它的余弦值 B正方形的边长和它的面积 C正n边形的边数和顶点角度之和 D人的年龄和身高

4、答案：D三基能力强化2有关线性回归的说法，不正确 的是( ) A相关关系的两个变量是非确 定关系 B散点图能直观地反映数据的 相关程度 C回归直线最能代表线性相关 的两个变量之间的关系 D散点图中的点越集中，两个 变量的相关性越强 答案：D三基能力强化3(教材习题改编)对于事件A和事件B，通 过计算得到K2的观测值k4.514，下列说法正确 的是( ) A有99%的把握说事件A和事件B有关 B有95%的把握说事件A和事件B有关 C有99%的把握说事件A和事件B无关 D有95%的把握说事件A和事件B无关 答案：B三基能力强化4下列关系：人的年龄与其拥有 的财富之间的关系；曲线上的点与该 点的坐标

5、之间的关系；苹果的产量与 气候之间的关系；森林中的同一树木 ，其截面直径与高度之间的关系；学 生的身高与其学号之间的关系，其中有 相关关系的是_ 答案：三基能力强化答案：11.69三基能力强化判断两变量之间有无相关关系 ，一种常用的简便可行的方法是绘 散点图散点图是由数据点分布构 成的，是分析研究两个变量相关关 系的重要手段，从散点图中，如果 发现点的分布从整体上看大致在一 条直线附近，那么这两个变量是线 性相关的课堂互动讲练考点一相关关系的判断课堂互动讲练例例1 1某棉业公司的科研人员在7块并 排、形状大小相同的试验田上对某棉 花新品种进行施化肥量x对产量y影响 的试验，得到如下表所示的一组

6、数据( 单位：kg).课堂互动讲练施化肥量 x15202530354045棉花产产量 y330345365405445450455(1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系课堂互动讲练【思路点拨】 用施化肥量x作为 横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由 散点图即可分析是否具有线性相关关 系【解】 (1)散点图如图所示，课堂互动讲练(2)由散点图知，各组数据对应点 大致都在一条直线附近，所以施化肥 量x与产量y具有线性相关关系课堂互动讲练【名师点评】 两变量具有相关关 系但不一定是线性相关，所以当画出的 点明显在一条曲线附近时，两变量也具 有相关关系，但不是线性相关的课堂互动讲练利用最小二乘法

7、求回归直线方 程的一般步骤是：(1)作出散点图， 判断是否线性相关；(2)如果是，则 用公式求a、b，写出回归方程；(3) 根据方程进行估计课堂互动讲练考点二求回归直线方程课堂互动讲练例例2 2下表提供了某厂节能降耗技术改 造后生产甲产品过程中记录的产量x( 吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几 组对照数据.x3456 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘(参考数值：32.5435464.5 66.5)课堂互动讲练【思路点拨】课堂互动讲练【解】 (1)由题设所给数据，可 得散点图如图所示：课堂互动讲练所以，由最小二乘法确定的回归方程的 系数

8、为：课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】 因本题中y对x的关系呈 线性关系，故可用一元线性相关的方法解课堂互动讲练在本例条件下，若该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤试根据(2)求出的线性回归方程 ，预测生产100吨甲产品的生产能耗 比技改前降低多少吨标准煤？课堂互动讲练互动探究互动探究解：由(2)的回归方程及技改前生 产100吨甲产品的生产能耗，得降低的 生产能耗为90(0.71000.35) 19.65(吨标准煤)课堂互动讲练建立回归模型的步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量 是解释变量，哪个变量是预报变量 (2)画出确定好的解释变量和预报 变量的散点图，观察它们之间的关

9、系( 如是否存在线性关系等)课堂互动讲练考点三线性回归分析(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观 察到数据呈线性关系，则选用线性回归方(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如 最小二乘法) (5)得出结果后分析残差是否有异常(个别 数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规 律性等)若存在异常，则检查数据是否有误 ，或模型是否适合等课堂互动讲练课堂互动讲练例例3 3 测得某国10对父子身高(单位：英 寸)如下： (1)对变量y与x进行相关性检验； (2)如果y与x之间具有线性相关关 系，求回归方程； (3)如果父亲的身高为73英寸，估 计儿子的身高课堂互动讲练父亲亲 身高 (x)60626465

10、666768707274儿子 身高 (y)63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70【思路点拨】 (1)先根据已知计算 相关系数r，判断是否具有相关关系 (2)再利用公式求出回归方程进行回 归分析课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练所以y与x之间具有很强的线性相关 关系课堂互动讲练故所求的回归方程为：所以当父亲身高为73英寸时，估 计儿子身高约为69.9英寸课堂互动讲练【名师点评】 求回归直线方程 ，一般先要考查y与x是否具有线性相 关关系，若具有这样的关系，则可利 用公式求解，否则求得的函数关系无 实际意义课堂互动讲练利用图形来判断两个变量之间

11、是 否有关系，可以画出三维柱形图、二 维条形图，仅从图形上只可以粗略地 估计两个分类变量的关系，可以结合 所求的数值来进行比较，作图时应注 意单位统一、图形准确，但不能给我 们两个分类变量有关或无关的精确的 可信程度，只有利用独立性检验的有 关计算，才能作出精确的判断课堂互动讲练考点四独立性检验课堂互动讲练例例4 4(解题示范)(本题满分12分) 在调查的480名男人中有38名患有 色盲，520名女人中有6名患有色盲， 分别利用图形和独立性检验的方法来 判断色盲与性别是否有关？你所得到 的结论在什么范围内有效？【思路点拨】 本题应首先作出 调查数据的列联表，再根据列联表画 出二维条形图，并进行

12、分析，最后利 用独立性检验作出判断课堂互动讲练【解】 根据题目所给的数据作 出如下的列联表：课堂互动讲练色盲不色盲合计男38442480女6514520合计449561000根据列联表作出相应的二维条形 图： 6分课堂互动讲练因而，我们可以认为“患色盲与性别 是有关的”. 8分 根据列联表所给的数据可以有 a38，b442，c6，d514，a b480，cd520， ac44，bd956，n1000，课堂互动讲练由k27.110.828，所以我们有 99.9%的把握认为患色盲与性别有关 系，这个结论只对所调查的480名男人 和520名女人有效. 12分课堂互动讲练【误区警示】 在列联表中注意事

13、 件的对应及有关值的确定，避免混乱课堂互动讲练(本题满分12分)在对人们的休闲方 式的一次调查中，共调查了124人，其中 女性70人，男性54人女性中有43人主 要的休闲方式是看电视，另外27人主要 的休闲方式是运动；男性中有21人主要 的休闲方式是看电视，另外33人主要的 休闲方式是运动课堂互动讲练互动探究互动探究(1)根据以上数据建立一个22列联表； (2)判断性别与休闲方式是否有关系解：(1)22列联表如下： 6分课堂互动讲练课堂互动讲练性别 看电视运动总计女432770男213354总计6460124休闲方式(2)假设“休闲方式与性别无关”，因为k5.024，所以有理由认为假 设“休闲

14、方式与性别无关”是不合理的 ，即有97.5%的把握认为“休闲方式与 性别有关”. 12分课堂互动讲练1回归分析的理解 回归分析是处理变量相关关系的一种 数学方法，它主要解决三个问题： (1)确定两个变量之间是否有相关关系 ，如果有就找出它们之间贴近的数学表达 式； (2)根据一组观测值，预测变量的取值 及判断变量取值的变化趋势； (3)求出回归直线方程规律方法总结2最小二乘法的理解 (1)最小二乘法是一种有效的求回归方 程的方法，它保证了各点与此直线在整体上最 接近，最能反映样本观测数据的规律 (2)最小二乘法估计的一般步骤： 作出散点图，判断是否线性相关； 如果是，则用公式求a、b，写出回归

15、方程； 根据方程进行估计规律方法总结3线性相关关系强弱的分析与判断 对于变量x与y随机抽取到的n对数据(x1 ，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，利用相关系 数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强 弱，样本相关系数的具体计算公式为：规律方法总结当r0时，表明两个变量正相关； 当r10.828，就有99.9%的把 握认为“X与Y有关系”； 如果k7.879，就有99.5%的把握 认为“X与Y有关系”；规律方法总结如果k6.635，就有99%的把握认 为“X与Y有关系”； 如果k5.024，就有97.5%的把握 认为“X与Y有关系”； 如果k3.841，就有95%的把握认 为“X与Y有关系”； 如果k2.706，就有90%的把握认 为“X与Y有关系”； 如果k2.706，就认为没有充分的 证据显示“X与Y有关系”规律方法总结随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入