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1、方差分析 线性回归什么是方差分析(ANOVA)? (analysis of variance)1. 检验多个总体均值是否相等 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等 2. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个分类尺度的自变量 两个或多个 (k 个) 处理水平或分类 一个间隔或比率尺度的因变量 3. 有单因素方差分析和双因素方差分析 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量【 例例 】为了对几个行业为了对几个行业 的服务质量进行评价的服务质量进行评价 ，消费者协会在四个，消费者协会在四个 行业分别抽取了不同行业分别抽取了不同 的企业作为样本。最的企
2、业作为样本。最 近一年中消费者对总近一年中消费者对总 共共2323家企业投诉的次家企业投诉的次 数如下表数如下表消费者对四个行业的投诉次数 行业观 测 值零售 业旅游 业航空 公司家电 制造 业 1 2 3 4 5 6 757 66 49 40 34 53 4468 39 29 45 56 5131 49 21 34 4044 51 65 77 58分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异 ，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显 著影响 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被 投诉次数的均值是否相等 若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次 数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有
3、显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业” 对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量 有显著差异零售业 旅游业 航空公司 家电制造1.随机误差 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 这种差异可以看成是随机因素的影响， 2.系统误差 因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可 能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是 由系统性因素造成的，方差分析的基本思想和原理 (两类方差)1.数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为方 差
4、 2.组内方差(within groups) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，零售业被投诉次数的方差 组内方差只包含随机误差 3.组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，四个行业被投诉次数之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差方差分析的基本思想和原理 (方差的比较)1.若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含 随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经 过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1 2.若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含 随机误差外，还会包含有系统误差，这时组
5、间误差平均后 的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值 就会大于1 3.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存 在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投 诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主 要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响构造检验的统计量 (例题分析)构造检验的统计量 (计算总误差平方和 SST)1.全部观察值 与总平均值 的离差平方 和 2.反映全部观察值的离散状况 3.其计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SST SST = (57-47.869565)= (57-47.8
6、69565)2 2+ +(58-47.869565)(58-47.869565)2 2=4164.608696 =4164.608696构造检验的统计量 (计算水平项平方和 SSA)1.各组平均值 与总平均值 的 离差平方和 2.反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称 组间平方和 3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 4.计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSA SSA = 1456.608696= 1456.608696构造检验的统计量 (计算误差项平方和 SSE)1.每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平 方和 2.反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和 3
7、.该平方和反映的是随机误差的大小 4.计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSE SSE = 2708= 2708构造检验的统计量 (三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方 和(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之 间的关系SST SST = = SSA SSA + + SSESSE 前例的计算结果：前例的计算结果： 4164.608696=1456.608696+2708 4164.608696=1456.608696+2708 关系强度的测量 1.拒绝原假设表明因素(自变量)与观测值之间 有关系 2.组间平方和(SSA)度量了自变量(行业)对因变 量(投诉次
8、数)的影响效应 只要组间平方和SSA不等于0，就表明两个变量之 间有关系(只是是否显著的问题) 当组间平方和比组内平方和(SSE)大，而且大到 一定程度时，就意味着两个变量之间的关系显著 ，大得越多，表明它们之间的关系就越强。反之 ，就意味着两个变量之间的关系不显著，小得越 多，表明它们之间的关系就越弱关系强度的测量 1.变量间关系的强度用自变量平方和(SSA) 及残差平方和(SSE)占总平方和(SST)的比 例大小来反映 2.自变量平方和占总平方和的比例记为R2 , 即3.其平方根R就可以用来测量两个变量之间 的关系强度 关系强度的测量 (例题分析) R=0.591404 结论： 行业(自变
9、量)对投诉次数(因变量)的影响效应占总 效应的34.9759%，而残差效应则占65.0241%。即 行业对投诉次数差异解释的比例达到近35%，而其 他因素(残差变量)所解释的比例近为65%以上 R=0.591404，表明行业与投诉次数之间有中等以 上的关系 单因素试验的方差分析 例子：铝合金板的厚度有三台机器，生产相同 规格的铝合金薄板。 取样，测量薄板的厚 度精确到千分之一厘 米。结果如下：机器一 机器二 机器三0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262 这里，试验的指标是薄板的厚度。
10、机器是 因素，不同的三台机器就是这个因素的三 个不同的水平。 假定除了机器这个因素。材料的规格、操 作人员的水平等其他因素都是相同的。这 是单因素试验。 试验的目的就是为了考察各台机器所生产 的薄板的厚度有无显著差异，看看机器这 因素对厚度有无显著的影响。 表中的数据看成来自三个不同总体的样本 值。将各个总体的均值依次计为 检验假设 假设各总体均为正态变量，且各总体的方 差相等。那么这是一个检验同方差的多个 正态总体均值是否相等的问题。检验假设 S3，n1=n2=n3=5 ,n=15, ST=15 SA=1/5(1.212 +1.28 2+1.312 ) - 2.82/15=0.0010533
11、3 SE =ST-SA=0.000192 ST,SA, SE 的自由度依次为n114， s12，ns12方差分析表方差来源 平方和自由度 均方F比因素0.00105333 SA2 s-10.00052667 32.92误差0.000192 SE12 n-s0.000016总和0.00124533 ST14 n-1因F0.05（2，12）3.89 r0.01 ，因此线性回归效 果显著，认为抗拉强度y与含碳量x之间存在高度 显著的正相关关系。c.求抗拉强度y关于含碳量x 的线性回归方程 当x15时，y的点估计值为 近似估计y的预测区间。 对于实验范围的每个x，有95.4的y落在下列两 条直线之间： Y的95.4的预测区间是 45.307，51.979THANKS
