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1、第5章 特征值与特征向量5.2 矩阵的相似关系5.3 矩阵的相似对角化5.1 特征值与特征向量 5.5 若当（Jordan）标准形简介 5.4 实对称矩阵的相似对角化Date1先看一个例子：求二次齐次函数在条件下的极值值。 5.1 特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念 Date2记其中则条件限制为 作拉格朗日函数 令： 则有： （5.1） 或： （5.2） Date3这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。 定义义5.1 设设n阶阶方阵阵（1）
2、称为A的特征矩阵；（2）称 （5.3） 为为A的特征多项项式； Date4（3）称A的特征多项式的根，即 的根 为A的特征值；（4）若 是的某个特征值，则称齐次线性方程组 （5.4） 的非零解为A的属于特征值 的特征向量。 Date5从定义中可以看出：行列式（5.3），即A的特征 多项式 是一个关于 的首项系数为1的n次 多项式，它的根（包括重数在内），也就是A的特 征值共有n个；同时由（5.4）可知特征向量的概念是相对某个特征 值而言的概念，如果 是A的特征值，则A的属于 的特征向量就是以特征矩阵 为系数矩阵的齐 次线性方程组（5.4）的全部非零解，常称此齐次线 性方程组的任意一个基础解系为
3、A的属于 的极大无 关特征向量组。Date6上述定义实际上给出了求方阵的特征值与特征向量 的方法：第一步：求出A的特征多项式 ；第二步：求出代数方程 的n个根，即得A 的n个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内 共有n个）；第三步：对每个特征值 ，求出齐次线性方程组 的基础解系，即属于 的极大无 关特征向量组： ； Date7第四步：作线性组合 （ 不全为零），它就是A的属于 的全部特征向量 。例1 求3阶方阵 的特征值与特征向量。Date8解：A的特征多项式为： 故A的特征值为： （二重）。 对于 而言，求解齐次线性方程组即Date9得它的一个基础解系： 故A的属于 的所有特征向量为 Da
4、te10对于 而言，求解齐次线性方程组即得它的一个基础解系： 故A的属于 的所有特征向量为 （ 不全为零） Date11例 2 求3阶方阵 的特征值与特征向量。 解：A的特征多项式为： Date12故A的特征值为： （三重）。 求解齐次线性方程组 ，即得它的一个基础解系： 所以A的属于特征值2的所有特征向量为 （ 不全为零）Date13定义5.2 设A是n阶方阵，若存在数 及n 维非零向量 ，使得：（5.5） 则称 是A的特征值， 是A的属于特征值 的特征 向量. 上述定义5.1与定义5.2是等价的 事实上，若有（5.5）式，即 ， 则可将其改写为：Date14例3 设A为n阶方阵，则A与 有
5、相同的特征多项 式，进而有相同的特征值。证明：因为： 则A与 有相同的特征多项式Date15例4 设n阶方阵A满足 （为正交矩阵），则的特征值必为1或 -1证明：设 为的特征值，且 对上式两边左乘 Date16再对其两边左乘 由此 但 ， 则或Date17定理5.1 设 ，且 是的n个特征 值（重根按重数算），则有： （1）A的n个特征值之和等于A的主对角线元素之 和，即：（5.6） （2）A的n个特征值之积等于A的行列式，即：（5.7） 二、特征值与特征多项式的关系Date18证明：注意到A的特征多项式为： 易知特征多项式中 与 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,因此 前的系数必为： ；
6、 Date19而特征多项式的常数项为 即有由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得： 推论 方阵A非奇异（可逆）当且仅当A没有零特征值 Date20例5 设A为三阶方阵，且满足： ，求解：由定义5.1知，若 ，则A有特征值 ；同理：Date21定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 分别有特征值： ，其中m为正整数， 是A的伴随矩阵。（1） 证明：因为A有特征值 ，故存在非零向量 ，使 得： ，于是：（2） ；三、特征值与特征向量的性质Date22（3）对 两边左乘 有： ，即： （4）因为 ，则有： ，即： 由此可见 分别有特值： Date23注意：由此例可知，若A有特征值 ，则A矩阵多 项式
7、 有特征值： Date24定理5.3 设 是方阵的个互异的特征值 ，且 分别是属于的特征向量，则 必定线性无关，即A的不同特征值 对应的特征向量必定线性无关。证明：用归纳法证明， 时，一个非零向量必 定线性无关，结论成立。 当 时 (5.8)Date25将（5.8）式两边左乘A 又将（5.8）式两边乘以 ，得：则：Date26由归纳假设知 线性无关，故有： 而 ，故只有 ， 再由（5.8）式知： 但 ，从而 ，则 由此 线性无关 据归纳法知结论对任意m都成立 Date27定理5.4 设 是方阵A的m个互异特征 值， 是A的属于 的 个线性无关的特 征向量（ ），则必定线性无关。推论 设方阵A有
8、个m互异特征值 ， A的属于 的极大线性无关特征向量组中含有 个 向量，则： ， 且等号成立的充要条件是A有n个线性无关的特征向 量。Date28矩阵的相似关系是矩阵间的一种极为重要 的关系，对于简化矩阵的讨论起着重要作用 ，而矩阵的特征值在相似关系中扮演了重要 角色。本节将引入相似的概念及性质，并讨 论方阵相似于对角阵的条件。5.2 矩阵的相似关系 Date29定义5.3 设A,B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵 P，使得： 则称A与B是相似的矩阵，记为 。相似是一种等价关系性质1 反身性性质2 对称性性质3 传递性Date30定理5.5 设A,B 都是n阶方阵，且A与B相似， 即 ，则(1)
9、(2)（k为正整数） 。 （3）若 是m次多项式，则证明：由 知，存在可逆矩阵P，使得(1)Date31（2）即 （k为正整数） Date32（3）从而 Date33定理5.6 设A,B 都是n阶方阵，且A与B相似， 即 ，则(1) (2)（3）A与B相同的特征多项式、相同的特征值 证明：由 知，存在可逆矩阵P，使得（1）由于用可逆矩阵左乘或右乘A，不改变其秩， 故 Date34（2）则A与B有相同的行列式。 （3）故A与B有相同的特征多项式，进而有相同的 特征值 Date35注意：若 （ ）， 即是A的属于 的特征向量， ，由于： 从而 是 的属于 的特征向量。 由此可见相似矩阵属于同一特征
10、值的特征向量 往往是不同的 Date36矩阵的相似关系的重要特性就是两个相似的矩 阵之间具有许多相同的性质，在研究矩阵的许 多问题时，人们常利用相似关系将A的讨论通 过 转移到B的讨论上去。可以理解为将矩阵A进行了分解（常 叫相似分解），分解的目的是为了简化对的讨论 。于是人们当然希望B越简单越好，例如是最简 单的对角阵。5.3 矩阵的相似对角化一、矩阵与对角阵的相似 Date37若A能与对角阵相似，则称A能对角化，即存在可 逆的矩阵P，使得此时 ，这样对A的讨论转移到了对对角 阵 的讨论上去了 Date38并非任何方阵都能对角化，那么当方阵A满 足什么条件时能对角阵化呢？下面给出方阵能 相似
11、于对角阵的充要条件，即A都能对角化的充 要条件。 二、矩阵对角化的条件Date39定理5.7 n阶方阵A能与对角阵相似的充要条 件是：A有n个线性无关的特征向量 证证明充分性：设A有n个线性无关的特征向量 ，它 们对应的特征值分别为 ，于是 （ ），记矩阵： Date40由于 线性无关，故P可逆，所以Date41故A能与对角阵相似 Date42必要性：设A能与对角阵 相似，则存在可逆矩阵P，使得将P按列分块，记 ， Date43显然 ，这说明 是A的属于 的特征向量， 且由P的可逆性知 线性无关 Date44注意：从上面定理的证明过程可知：若A能与对 角阵 相似，则 （1）与A相似的对角阵的主
12、对角线上的元素恰好 就是A的n个特征值 （2） 中的各列 恰好就是A 的属于 的特征向量 Date45特别的，若A的特征多项式都是单根，则有如下 推论： 事实上，对n个互异的特征值各取一个特征向量 ，由定理5.3知，A的不同特征值对应的特征向量 线性无关，故A有n个线性无关的特征向量，从而 A必能与对角阵相似。 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似推论1Date46对于A有重根的情况，由定理5.4的推论，有推论2 若n阶方阵A有m （mn）个互异的特征值 ， A的属于 的极大无关特征向量组中所含向量的个 数为 个（ ）则能对角化的充要条件是：Date47推论3 若n阶方阵A有m （mn）个互异的特征值,且它们分别是 重特征根（ )，则A能对角化的充要条件是： 事实上： 就是齐次线性方程组
