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1、六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习5.9 环与域 1.环的定义定义5-9.1若代数系统具有如下性质:1) 是一个阿贝尔群,2) 是一个半群,3)乘法对加法+可分配,即a,b,cR,有a(b+c)=ab+ac且(b+c)a=ba+ca,则称是一个环。注:在环中a的加法逆元a-1记为-a,a+(-b)可写为a-b。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习 环与域例
2、1.1)是一个环。2)是一个环。 证:是一个阿贝尔群,0是加法幺元。是一个半群。a,b,cNk ak(b+kc)=ak(b+c)mod k)=(a(b+c)mod k=(ab+ac)mod k =(ab)mod k+k(ac)mod k =(akb)+k(akc)3)是一个环,其中An表示实数集R上nn方阵集合，零阵是环的加法幺元,单位矩阵是环的乘法幺元。4)实系数多项式对于多项式加法,乘法是一个环。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习环2.环的性质 定理5-9.1: 设是一
3、个环,a,b,cA,a+(-b)简记a-b， 1)环的加法幺元必为环的乘法零元， 即 a=a=。 证: a =a(+)=a+a,由消去律可得： a=。类似可证=a。 2)(-a)b=a(-b)=-(a b) 证:(-a)b+ab=(-a)+a)b=a= ， (-a)b=-(ab)。类似可证a(-b)=-(a b)。 3) (-a)(-b)=ab 证:(-a)(-b)=-a(-b)=ab（利用2）的结果） 4) a(b-c)=ab-ac 证:a(b-c)=a(b+(-c)=ab+a(-c)=ab+(-(ac)=ab-ac 5) (b-c)a=ba-ca（类似4）的证明）六年级数学上册课件-比的基
4、本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习环3.零因子环定义:是一个环,若a,bA,使得a0,b0,且ab=0成立,则称是零因子环,a,b称为零因子,没有零因子的环称为无零因子环。(无零因子： a,bA,a0,b0,则必有ab 0)例:是零因子环,An是nn方阵。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习环定理5-9.2:环是无零因子环,当且仅当满足可约律。证:必要性: a,b,cA ,a .设
5、无零因子,若ab=ac，ab-ac=, a(b-c)= . 因为无零因子.b-c= b=c。充分性:设满足可约律,设aA, a，ab=，则 ab=a，由可约律 b= 无零因子。是无零因子环。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习环4.整环定义5-9.2:给定环,若是可交换的,则称为交换环。给定环,若含幺元,则称为含幺环。定义5-9.3:给定环,若是可交换的、含幺元、无零因子环,则称为整环。例2.1)是整环。2)不是整环。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家
6、炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习域1.域的定义定义5-9.4:若代数系统具有性质： 1)|F|1，2),均是阿贝尔群，3)乘法对加法可分配，则称它是域。2.域的举例1)I为整数集，不是域，2)是一个域,其中Q为有理数集合。是一个域，其中R为实数集合。是一个域，其中C为复数集合。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习域3)Nk=0,1,k-1,是一个域,当且仅当k是质数. 证:必要性:（反证法） 设是一个域,若k不
7、是质数 i)k=1,则|N1|=1不是域 ii)k=ab,则akb=0,a,b是零因子,故不是域,矛盾。充分性:若k为质数,须证是一个域。i)是一个阿贝尔群，ii)证明是阿贝尔群，a)a,bNk-0akbNk-0，Nk-0对k封闭。b) 结合律满足 。 c) 幺元为1。d)aNk-0，证明a存在逆元，六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习域*首先证明: 若b,cNk-0,bc且a 0，则akbakc。 （反证法:）若akb=akc,不妨设bc，则: ab=nk+r,ac=mk+
8、ra(b-c)=(n-m)k。 k为质数,不能被分解成两一个数的乘积,故等式左边至少有一个数 是 k的倍数,而这是不可能的，因此 ，ak1,ak(k-1)这k-1一个数均 不 相同,其中必有一个为1。所以 aNk-0,bNk-0 使akb=1 ， aNk-0，a存在逆元。 是阿贝尔群， 是一个域 ， 证毕。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习域注： 称为模k整数域。 例:域中,2的乘法逆元为3,4的乘法逆元为4。 定理5-9.3：域一定是整环。 证明：设是任一域。对于a,b,
9、cA且a, 如果有a b=a c,（1是乘法幺元）则b=1 b=(a -1 a) b=a-1 (a b)=a-1 (a c)=(a-1 a) c=1 c=c 因此， 是一个整环。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习域4.有限整环必是域(定理5-9.4)证:设是有限整环, a,b,cA且c(证明c逆存在).若ab，由无零因子推出的可约律,则cacb.设A - =a1,an，因为A为有限集,由运算封闭性，A - =ca1,can=c(A - )。d A -，使得cd=e c的逆元
10、为d 。 是阿贝尔群。因为有限整环满足分配律， 是域。 六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习环的同态1.定义:定义5-9.5: 设，是环, 若h: RS, a,bR有h(a+b)=h(a)h(b), h(ab)=h(a)h(b),称h是到的环同态。 2.环的同态像是一个环定理5-9.5： 若是环,是一个代数系统,存在同态映射h,则是一个环。 证:由群同态,半群同态知识知:是是阿贝尔群,是半群h(a)(h(b)h(c)=h(a)(h(b+c) =h(a(b+c)=h(ab+ac
11、) =h(ab)h(ac) =h(a)h(b)h(a)h(c)所以 是一个环。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习环的同态*举例:设是一个关于，分别有幺元e1和e2的代数系统,且和彼此可分配,试证:xA,xx=xx=x证:引理1:e2e2=e2(e2e2)=(e1e2)(e2e2)=(e1e2)e2=e1e2=e2xx=(xe2)(xe2)=x(e2e2)=xe2=x引理2:e1e1=e1(e1e1)=(e1e2)(e1 e1)=e1(e2e1)=e1e2=e1xx=(xe1
12、)(xe1)=x(e1e1)=xe1=x.六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习习题讲评P200,5.试证:循环群的子群是循环群证：设是的子群,因是循环群,设g是它的生成元,T=gi1,gi2,gin,i是整数,设m是i1,i2,in,中最小的正整数(若i1,i2,in,均为负数,可取m是其中绝对数最小的)gijT,ij=lm+r(lI,0r是循环群。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PP
13、T模板军队国防改革强军梦学习习题讲评试证:HK=KH当且仅当是的子群。证:1)h1k1,h2k2HK 因为HK=KH,h3k3,k1h2=h3k3h1k1h2k2=h1h3k3k2HK2)(h1k1)-1=k1-1h1-1KH=HK (h1k1)-1HK所以 是的子群。(1)HKKH xHK,则x-1HK设x-1=hk x=(x-1)-1=(hk)-1=k-1h-1KH(2)KHHK khKHkh=(h-1k-1)-1HK(是子群)KHHK由(1),(2): KH=HK六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动P
14、PT模板军队国防改革强军梦学习习题讲评P200, 4) 设是一个群, a,bG,a3*b3=(a*b)3,a4*b4=(a*b)4,a5*b5=(a*b)5 ,则为阿贝尔群。证:a3*b3=(a*b)3 a*(a2*b2 ) *b=a *(b*a) *(b*a) * ba2*b2=(b*a)2 因为a3*b3=(b*a)3 , a4*b4=(b*a)4 (a3*b3)*(b*a) =(b*a)3 *(b*a) =(b*a)4=a4*b4,即b4*a=a*b4 (1)(a2*b2)*(b*a) =(b*a)2 *(b*a) =(b*a)3=a3*b3,即b3*a=a*b3 (2)(a*b)*b3
15、 =a*b4 =b4*a=b*(b3*a)=b*(a*b3)=b*a*b3a*b=b*a,由a,b的任意性,所以为阿贝尔群。六年级数学上册课件-比的基本性质和化简比江苏省连云港市田家炳中学高一生物现代生物进化理论的主要内容课件八一建军节主题教育活动PPT模板军队国防改革强军梦学习习题讲评(一)设是半群,e是左幺元,即xA,x有x*x=e试证明: a) a,b,cA 若a*b=a*c 则 b=cb) e也是的幺元,并且是群。证明: a) a*b=a*c a* a*b= a * a*c e *b= e *c b= cb) 必须证:xA,x*e=xi)x *(x*e)=(x*x)*e=e*e=e=x*x, 由a)得 x*e=xe也是的右幺元,即e是的幺元ii)须证:xA,x
