历史相似性及其教学启示

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1、华东师大数学系 汪 晓 勤历史相似性及其教学启示历史相似性及其教学启示l历史发生原理l海克尔（E. Haeckel, 1843-1919）生物发生学定律“个体发育史重蹈种族发展史”在教育中的应用：“个体认知的发生遵循人类认知发展的过程。”就数学教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序。历史相似性及其教学启示this history of the embryo (ontogeny) must be completed by a second, equally valuable, and closely connected branch of thought - the histor

2、y of race ( phylogeny ). Both of these branches of evolutionary science are, in my opinion, in the closest causal connection; this arises from the reciprocal action of the laws of heredity and adaptation历史相似性及其教学启示lHerbert Spenser (1894)对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育，换言之，个体知识的发生必须遵循人类知识的发生过程。历史相似性及其教学启示

3、lBenchara Branford (1908)我的目的是展示人类几何知识演进的实际方式与学生最乐意与最有效吸收该经验的方式之间的相似性。需要特别指出的是，我并非在试图证明 人类与个体几何知识发展的必然相似性我所希望做的是要说明，为教育之目的，几何学的最有效的讲授方式乃是遵循科学历史演进的顺序。历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的发展（Benchara Branford,1908）历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的发展（Benchara Branford,1908）历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的发展（Benchara Branford,1908）历史相似性及其教学启

4、示人类与个体数学经验的发展（Benchara Branford,1908）历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的发展（Benchara Branford,1908）历史相似性及其教学启示lF克萊因（F. Klein, 1849-1925）：生物发生学的一项基本定律指出，个体的成长 要经历种族成长的所有阶段，顺序相同，只是所 经历的时间缩短。我想教授数学和其他任何 事情一样，至少在原则上要遵照这项定律。 科学的教学方法只是诱导去作科学的思考，並不 是一开头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系 统。推广这种自然的真正科学的教学的主要障碍 是缺乏历史知识。历史相似性及其教学启示F克萊因（F. Kl

5、ein, 1849-1925 ）历史相似性及其教学启示l庞加莱（H. Poincar, 1854-1912）：动物学家坚持认为，在一个短时期內，动物胚胎的发育重蹈所有地地质年代其祖先們的发展历史。人的思维发展似乎也是如此。教育工作者的任務就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。鉴于此，科学史应该是我們的指南。历史相似性及其教学启示庞加莱（H. Poincar, 1854-1912）历史相似性及其教学启示l波利亚只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我們才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。G. Plya （1887-1985）历史相似性及其教学

6、启示l弗赖登塔尔年轻的学习者重蹈人类的学习过程，尽管方式改变了。H. Freudenthal （1905-1990）历史相似性及其教学启示l弗赖登塔尔 （ICME-4, 1980） ：数学史乃是一个不断进步的 系统化的学习过程。儿童无需重 蹈人类的历史，但他们也不可能 从前人止步的地方开始。从某种 意义上说，儿童应该重蹈历史， 尽管不是实际发生的历史，而是 倘若我们的祖先已经知道我们今 天有幸知道的东西，将会发生的 历史。H. Freudenthal (1905-1990)历史相似性及其教学启示弗赖登塔尔关于“历史发生原理”观点历史相似性及其教学启示lM克莱因：我坚信历史顺序是教学的指南。我们

7、无需完完全全追随历史，但如果大数学家在作出某些创造时遇到困难，我们的学生也必会遇到。 M. Kline (1908-1992)历史相似性及其教学启示lM克莱因：数学家花了几千年时间才理解无理数，而我们竟贸然给中学生讲戴德金分割。数学家花了三百年才理解复数，而我们竟马上就教给学生复数是一个有序实数对。数学家花了约一千年才理解负数，但现在我们却只能说负数是一个有序自然数对。从伽利略到狄利克雷，数学家一直绞尽脑汁 历史相似性及其教学启示去理解函数的概念，但现在却由定义域、值域和有序对（第一个数相同时第二个数也必须相同）来玩弄把戏。从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡儿，没有一个数学家意识到字母可

8、用来代表一类数，但现在却通过简单的集合思想马上产生了集合这个概念。 历史相似性及其教学启示l皮亚杰、加西亚科学在历史跨越过程中所做出的各种进步，不是以随意的形式呈现的，而是按一定顺序排列的。与心理发生一样，是以一系列连续的“阶段”呈现。促成历史时期跨越的转化机制与那些促成心理阶段跨越的转化机制是相似的。 研究之一：符号代数lE. Harper (1987)研究问题：学生对符号代数的认知过程是否与符号代数的历史发展过程相似？研究方法：测试。丟番图算术：“已知两数的和与差，证明这两个数总能求出。”被 试：英国两所文法学校1-6年级各12名学生，共144人。研究之一：符号代数lG. H. Nezze

9、lmann希腊代数(1842)：代数学的发展经历三个阶段：研究之一：符号代数l修辞代数解法：文字表达l丢番图的解法：设和为 100，差为 40，较小数为x，则较大数为 x + 40。这样就有2x + 40 =100，从而得 x = 30。因此两数分别为30、70。l韦达的解法：设和为a，差为b。又设较小数为x，则较大数为 x + b，于是 2x+b=a，故得x =(a-b)/2。因此两数分别为 (a-b)/2、(a+b)/2。研究之一：符号代数1 修辞的解法Jane（二年級，12岁零8月）：“和除以2，差除以2。和除以2的商与差除以2的商相加，得到第一个数；从和除以2的商中減去差除以2的商，得

10、到第二个数。例如：和8，差2，8/24，2/2=1，第一个数4+1=5；第二个数4-1=3。”研究之一：符号代数2 丟番图的解法Barry（三年級，13岁零10个月）：x y = 2 （1）x + y = 8 （2）（1）+（2）得2x =10，x =5。代入（2）得：5+ y =8，y = 8-5，y = 3。对于任何数，你都可以这样做。”研究之一：符号代数3 韦达的解法设两数为 x 和 y，n = x 和 y 的和，m = x 和 y 的差，一般的方程为 n = x + y，m = x- y。兩式相加，m + n = 2x。求得 x，回代，求出y。研究之一：符号代数类 型学 生 數一年级二

11、年级三年级 四年级 五年级 六年级修辞法444130丟番图法013554韦达法0101620合 計46771424研究之一：符号代数研究结论：学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史发展过程具有相似性。研究之二：角的概念lKeiser(2004)研究对象：6年级学生研究问题：6年级学生是如何理解角概念 的？他们在理解0、180和360时有困难吗？研究方法：课堂观察和访谈。研究之二：角的概念l历史回溯：古希腊人从关系、质和量三方面之一来定义角，欧几里得在几何原本中将角定义为“平面上两条不在同一直在线的直线彼此之间的倾斜度”（关系）。卡普斯（Carpus）将角定义为“包含它的两线或两面之间的距

12、离”（量）。而普罗克拉斯（Proclus）则认为必须同时从大小（量）、存在研究之二：角的概念的形状和特征（质）、两条直线之间的关系三方面来定义角 。但在古希腊时代，无论从哪一种定义，都未能很完善地刻划这个概念。另外，历史上数学家在理解0、180和360三种特殊角时遇到了困难，许多数学家给出的“角”的定义（其中包括希尔伯特几何基础中的定义）都不含这三种角。 研究之二：角的概念l研究发现：学生对角的理解也分成三种情形：(1) 强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越大。 (2) 强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大

13、； 研究之二：角的概念(3) 强调“关系”方面：一个学生不同意把角看作“两条射线之间的宽度，他认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系”。 课堂上学生同样很难理解0、180 和 360这三种特殊角，因为在他们的概念表像中并不存在这些角。研究之二：角的概念如Claire在研究者对她进行的访谈中对这些角提出质疑：“如果它（180）是一个角的话，那么它就需要有两条边，我看不出哪儿有两条边相交。”“角有顶点以及两条不同的线。我知道（在180中）有两条直线，但你说不出顶点在哪儿。”“（对于360的角）圆是没有任何角的，所以我不研究之二：角的概念明白。”l研究结论学生对角概念的理解具有历史相似

14、性。教材和学生都可以从前人理解角概念的困难中获得諸多启示。研究之三：平面概念lK. Zormbala, C. Tzanakis研究对象：51位大学非数学专业毕业、从事各种职业的对象（社会学家、小学教师、德文和英文教师、心理学家、律师、医生）研究问题：非数学专业毕业生是如何理解平面概念的？研究之三：平面概念研究方法：问卷调查。调查问题： (1) 请描述什么是平面；(2) 在你看來，“平面”和“表面”有何不同？ (3) 作出一个平面。 研究之三：平面概念类类別 对对平面的描述百分比历历史上数学家的定义义1平面是直线恰好与其相合的 表面15.9 %海伦（Heron, 1世紀）2平面是包含经过 其上任

15、意兩 点的直线的表面4.8 %辛松（R. Simson, 1687- 1768 ）3平面是由三点及经过 它们的 直线所确定的表面12.7 %皮埃里（M. Pieri, 1860- 1930）4平面是与两个已知点等距的 点的集合1.6 %萊布尼茨（G. W. Leibniz, 1646-1716）5平面是一个光滑的直的表面 。12.7 %巴门尼德（Parmenides, 前 5世紀）、欧几里得（前3 世纪）研究之三：平面概念类类別对对平面的描述百分比历历史上数学家的定义义6其他回答（如“平面由其上一 点及与其垂直的一条直线完 全确定”）7.9 %高斯(C. F. Gauss, 1777- 185

16、5)、波尔約（W. Bolyai, 1775-1856）7不清楚的、逻辑 循环或前后 不一致的回答11.5 % 8不正确的回答15.9 % 9不完全的回答6.3 % 10具体的现实 情境（如平静的 水面、桌面、球在其上任一 点处都能保持平衡的表面）6.3 % 11沒有回答4.8 %研究之三：平面概念萊布尼茨辛松高斯研究之三：平面概念l研究结论被试对平面概念的理解与历史上巴门尼德(Parme-nides, 前5世紀)、海伦(Heron, 1世紀)、莱布尼茨(G. W. Leibniz, 16461716)、辛松 (R. Simson, 1687-1768)、高斯 (C. F. Gauss, 1777-1855)、皮埃里(M. Pieri, 1860-1930)等数学家的理解具有相似性 。研究之四：实无穷概念l研究问题：高中生比较无穷集合时采用何种