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1、第四章 函数 第一节 函数的基本概念内容:函数的定义,性质。 重点:掌握函数的定义,单射、满射、 双射的概念及判定。 一、函数的定义。 而不是函数。1、定义:都存在唯一的称(前域),为二元关系,若对任意的成立,则 ,使得为函数。其中ran称为陪域 例如:是函数, 3、有关集合和关系的运算对函数都适合。 2、记号:如,若。,记4、函数的定义域,值域。设(1)则称满足:是集合,若函数,(2)。的函数,记作到是从符号的全体构成的集合。 的函数到表示从例如:函数到,是从实数集,的函数,即函数到,是从正实数集 ,。的函数,即例1、。,求,解:题目要求从定义,有的所有函数,依函数到例1、。,求,解:题目要
2、求从定义,有的所有函数,依函数到解:故例1、。,求,一般,若则。不全为0),(,二、函数的性质。 1、满射:若 (或到上的) 。 是满射的,则称2、单射:若,则(或一一的)。 ,则 ,称是单射的 3、双射:若是双射的 (或一一到上的)。 既是满射,又是单射,则称 也不是满射。例2、判断以下若是函数,再判断是否单射,满射,双射的; 若不是,请说明理由。 的函数, 到的是否从(1),解:的函数,到是从但不是单射,例2、判断以下若是函数,再判断是否单射,满射,双射的; 若不是,请说明理由。 的函数, 到的是否从解:的函数, 到不是从(1),例2、判断以下若是函数,再判断是否单射,满射,双射的; 若不
3、是,请说明理由。 的函数, 到的是否从(1),解:的函数,到不是从但它不是单射, 也不是满射。(2)(实数集) 解:的函数,到是从解:的双射函数。到是从解:的函数。到不是从且是单射的, 但不是满射的 。(3)(正整数集)解:的函数,到是从解:的函数。到不是从是满射的。 不是单射的,(3)(正整数集)解:的函数,到是从三、常用的一些函数。 1、常函数,( 都有 ,为常数),2、恒等函数,都有 ,3、特征函数,其中,。第二节 函数的复合和反函数 内容:复合函数,反函数。 一般:基本掌握复合函数,反函数的定义及求法。一、复合函数。 1、定义:设函数则,称为的复合函数。 ,对任意,例1、设,求,其中。
4、,解:因为的复合函数也是从的函数 。 到的函数,所以所求 到均为从解:例1、设,求,其中。,解:例1、设,求,其中。,解:例1、设,求,其中。,解:例1、设,求,其中。,2、性质。 因此, 设,(1) 若也是满射的。 是满射的,则证:,使满射,故,由于对这个,使满射,故,又由于所以是满射。 2、性质。设,(2) 若也是单射的。是单射的,则证:故,且单射,由于,若又由即,的单射,有,所以是单射的。2、性质。 二、反函数。 设,(3) 若也是双射的。是双射的,则证:综合(1)、(2),即得是双射的。1、定义:设函数也是双射的,称反函数。的是是双射的,则 例2、判断以下函数是否存在反函数,若存在,
5、请写出反函数,否则,请说明理由。(1) ,解:不存在反函数,因为。不是单射,(2) ,解:是双射的,存在反函数。,例2、判断以下函数是否存在反函数,若存在, 请写出反函数,否则,请说明理由。(3) ,解:是双射的,存在反函数。,例3、说明以下函数是否单射、满射、双射。 若是双射,给出逆函数。 (1) 解:是双射, 逆函数解:是双射, 逆函数(2) (偶数集), 例3、说明以下函数是否单射、满射、双射。 若是双射,给出逆函数。 (3) 解:单射。解:满射。(4) 例4、设证明:是两个函数,(1) 若是满射,是满射,则证明:对任意是满射, ,由所以存在即,使得,所以存在,使得由于是满射。 的任意性,所以(2) 若是单射, 是单射,则证明:对任意,由于即,是单射,所以因,是函数,所以所以是单射。例4、设证明:是两个函数,(3) 若是满射。是单射,是双射,则证明:若是单射和满射。是双射,即由于是满射;是满射,则由(1)知,由于是单射。是单射,则由(2)知,例4、设证明:是两个函数,三、单侧逆函数 见147页定义4.3-4