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1、第四章 函数 第一节 函数的基本概念内容：函数的定义，性质。 重点：掌握函数的定义，单射、满射、 双射的概念及判定。 一、函数的定义。 而不是函数。1、定义：都存在唯一的称(前域），为二元关系，若对任意的成立，则 ，使得为函数。其中ran称为陪域 例如：是函数， 3、有关集合和关系的运算对函数都适合。 2、记号：如，若。，记4、函数的定义域，值域。设(1)则称满足：是集合，若函数，(2)。的函数，记作到是从符号的全体构成的集合。 的函数到表示从例如：函数到，是从实数集，的函数，即函数到，是从正实数集 ，。的函数，即例1、。，求，解：题目要求从定义，有的所有函数，依函数到例1、。，求，解：题目要
2、求从定义，有的所有函数，依函数到解：故例1、。，求，一般，若则。不全为0)，(，二、函数的性质。 1、满射：若 (或到上的) 。 是满射的，则称2、单射：若，则(或一一的)。 ，则 ，称是单射的 3、双射：若是双射的 (或一一到上的)。 既是满射，又是单射，则称 也不是满射。例2、判断以下若是函数，再判断是否单射，满射，双射的； 若不是，请说明理由。 的函数， 到的是否从(1)，解：的函数，到是从但不是单射，例2、判断以下若是函数，再判断是否单射，满射，双射的； 若不是，请说明理由。 的函数， 到的是否从解：的函数， 到不是从(1)，例2、判断以下若是函数，再判断是否单射，满射，双射的； 若不
3、是，请说明理由。 的函数， 到的是否从(1)，解：的函数，到不是从但它不是单射， 也不是满射。(2)(实数集) 解：的函数，到是从解：的双射函数。到是从解：的函数。到不是从且是单射的， 但不是满射的 。(3)(正整数集)解：的函数，到是从解：的函数。到不是从是满射的。 不是单射的，(3)(正整数集)解：的函数，到是从三、常用的一些函数。 1、常函数，( 都有 ，为常数)，2、恒等函数，都有 ，3、特征函数，其中，。第二节 函数的复合和反函数 内容：复合函数，反函数。 一般：基本掌握复合函数，反函数的定义及求法。一、复合函数。 1、定义：设函数则，称为的复合函数。 ，对任意，例1、设，求，其中。
4、，解：因为的复合函数也是从的函数 。 到的函数，所以所求 到均为从解：例1、设，求，其中。，解：例1、设，求，其中。，解：例1、设，求，其中。，解：例1、设，求，其中。，2、性质。 因此， 设，(1) 若也是满射的。 是满射的，则证：，使满射，故，由于对这个，使满射，故，又由于所以是满射。 2、性质。设，(2) 若也是单射的。是单射的，则证：故，且单射，由于，若又由即，的单射，有，所以是单射的。2、性质。 二、反函数。 设，(3) 若也是双射的。是双射的，则证：综合(1)、(2)，即得是双射的。1、定义：设函数也是双射的，称反函数。的是是双射的，则 例2、判断以下函数是否存在反函数，若存在，
5、请写出反函数，否则，请说明理由。(1) ，解：不存在反函数，因为。不是单射，(2) ，解：是双射的，存在反函数。，例2、判断以下函数是否存在反函数，若存在， 请写出反函数，否则，请说明理由。(3) ，解：是双射的，存在反函数。，例3、说明以下函数是否单射、满射、双射。 若是双射，给出逆函数。 (1) 解：是双射， 逆函数解：是双射， 逆函数(2) (偶数集)， 例3、说明以下函数是否单射、满射、双射。 若是双射，给出逆函数。 (3) 解：单射。解：满射。(4) 例4、设证明：是两个函数，(1) 若是满射，是满射，则证明：对任意是满射， ，由所以存在即，使得，所以存在，使得由于是满射。 的任意性，所以(2) 若是单射， 是单射，则证明：对任意，由于即，是单射，所以因，是函数，所以所以是单射。例4、设证明：是两个函数，(3) 若是满射。是单射，是双射，则证明：若是单射和满射。是双射，即由于是满射；是满射，则由(1)知，由于是单射。是单射，则由(2)知，例4、设证明：是两个函数，三、单侧逆函数 见147页定义4.3-4
