概率与概率分布

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1、第三章第三章 概率与概率分布概率与概率分布东华大学生物科学与技术研究所第一节：概率基础知识一、概率的概念二、概率的计算三、概率的分布四、大数定律东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念（一）事件定义：在一定条件下，某种事物出现与否 就称为是事件。 自然界和社会生活上发生的现象是各 种各样的，常见的有两类。东华大学生物科学与技术研究所在一定条件下必然出现某种结果或必然不出现某种结果 。确定性事件必然事件（U) (certain event)不可能事件（V) (impossible event)一、概率基本概念东华大学生物科学与技术研究所在一定条件下可能发生也可能不发生。随机事件(random

2、 event) 不确定事件(indefinite event)一、概率基本概念为了研究随机现象，需要进行大量重复的调查、实验、测试 等，这些统称为试验。东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念随机事件事 件东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念（二）频率（frequency ）若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)，记为W(A)=m/n。0W(A) 10W(A) 1东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念表3-1 玉米种子发芽试验结果种子总数(n) 10 20 50 100 2

3、00 500 1000发芽种子数(m) 9 19 47 91 186 458 920种子发芽率(m/n) 0.900 0.950 0.940 0.910 0.930 0.918 0.920种子发芽与否是不能事先确定的，但从表中可以看出 ，试验随着n值的不同，种子发芽率也不相同，当n充分大 时，发芽率在0.92附近摆动。例 ：东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念频率表明了事件频繁出现的程度，因而其稳定性说明了随机事件发生的可能性大小，是其本身固有的客观属性，提示了隐藏在随机现象中的规律性。概 率东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念（三）概率（probability,P)概率的统计

4、定义：设在相同的条件下，进行大量重复试验 ，若事件A的频率稳定地在某一确定值p的附近摆动，则称 p为事件A出现的概率。P(A) = p统计概率(statistics probability)后验概率(posterior probability)东华大学生物科学与技术研究所统计概率一、概率基本概念抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录实验者 投掷次数 发生正面朝上的次数 频率(m/n)蒲丰 4040 2048 0.5069K 皮尔逊 12000 6019 0.5016K 皮尔逊 24000 12012 0.5005随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率稳定 接近0.5，我们称0.5作为这个事

5、件的概率。东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念（三）概率（probability,P)P(A) = p=lim 在一般情况下，随机事件的概率P是不可能准确 得到的。通常以试验次数n充分大时，随机事件 A的频率作为该随机事件概率的近似值。m nm n东华大学生物科学与技术研究所概率的古典定义一、概率基本概念对于某些随机事件，不用进行多次重复试验来确定其概率 ，而是根据随机事件本身的特性直接计算其概率。随 机 事 件（1)试验的所有可能结果只有有限个，即样本空 间中的基本事件只有有限个;（2)各个试验的可能结果出现的可能性相等，即 所有基本事件的发生是等可能的;（3)试验的所有可能结果两两

6、互不相容。东华大学生物科学与技术研究所概率的古典定义一、概率基本概念具有上述特征的随机试验，称为古典概型（classical model).设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含 有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。古典概率(classical probability)先验概率(prior probability) 东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念12345678910随机抽取一个球，求下列事件的概率;（1)事件A抽得一个编号m),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：一、概率基本概念东华大学生物科学与技术研究所4 随机取数问题

7、例4 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(1),(2),(3)的概率分别为 :33/200,1/8,1/25一、概率基本概念东华大学生物科学与技术研究所一、概率基本概念0P(A)1 任何事件P(U)=1 必然事件P(V)0 不可能事件00p0，q0q0，p+q=1p+q=1，x是一个离散型随机变量，取值为0，1，2，n。p(x) Cnxpxqn-xCnxn!x!(n-x)!东华大

8、学生物科学与技术研究所n=试验次数（或样本含量） n=4x=在n次试验中事件A出现的次数 x=2p=事件A发生的概率（每次试验是恒定的） p=0.91-p=事件A不发生的概率 1-p=0.1p(x)=X的概率函数=P(X=x) P(2)则4粒种子有两粒发芽的概率为：P(x)= p2 q4-2=60.920.12=0.0486例：东华大学生物科学与技术研究所由于二项式中p+q=1，( p+q ) n = 1p(0) +p(1) +p(2) + + p(x) + + p(n) =1一、二项分布P(x) =1nx=0或者n个事件构成一个完全事件系，所以有：东华大学生物科学与技术研究所现已求出某事件发

9、生的概率，若试验N次，则该事件发生的理论次数为：理论次数NP(x)二项分布的概率累积函数为：F (x) =P(x)=1东华大学生物科学与技术研究所3:1若每次观察4株，共观察100次，问花为0、 1、2、3、4株的概率各为多少？（二）二项分布的计算例：豌豆F1为红花和白花，杂交后F2红花：白花3：1F1F2东华大学生物科学与技术研究所概率函数 Cnxpxqn-x P(x) F(x) NP(x)P(0) C40p0q4 0.0039 0.0039 0.39P(1) C41p1q3 0.0469 0.0508 4.69P(2) C42p2q2 0.2109 0.2617 21.09P(3) C43

10、p3q1 0.4219 0.6836 42.19P(4) C44p4q0 0.3164 1.000 31.64合计 1.000 100表 观察4株出现红花的概率分布表 (p=0.75 q=1-p=0.25)东华大学生物科学与技术研究所概率函数 Cnxpxqn-x P(x) F(x) NP(x)P(0) C50p0q5 0.00001 0.00001 0.01P(1) C51p1q4 0.00045 0.00046 0.45P(2) C52p2q3 0.0081 0.00856 8.1P(3) C53p3q2 0.0729 0.08046 72.9P(4) C54p4q1 0.32805 0.4

11、0951 328.05P(5) C55p5q0 0.59049 1.0000 590.49 孵化小鸡的概率分布表(p= 0.90 q=0.10)例2：鸡蛋孵化率为0.90，每次选5个进行孵化，试求孵出小鸡的各 种可能概率，若做1000次试验，其理论次数分别为多少？东华大学生物科学与技术研究所二项分布概率函数概率的计算样本容量的确定p(x) Cnxpx(1-P)n-x东华大学生物科学与技术研究所例：某小麦品种在田间出现自然变异的概率为0.0045，（1)调查100株，获得两株或两株以上变异植株的概率是多少？（2)期望有0.99的概率获得1株或1株以上的变异植株，至少应调 查多少株？n=100,

12、p=0.0045P(x2)=1- P(0)- P(1)=0.0751 P(0)=0.01n=1021(株） 东华大学生物科学与技术研究所一、二项分布（三）二项分布的形状和参数(1)当p值较小且n不大 时，分布是偏倚的。 随n的增大，分布趋于 对称；二项分布的形状由n和p两个参数决定。B(n,p)东华大学生物科学与技术研究所一、二项分布（三）二项分布的形状和参数（2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称。东华大学生物科学与技术研究所统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机 变量所构成的总体的平均数 、标准差 与n、p这两个参数有关。一、二项分布（三）二项分布的形状和参数n p)1 (pnp-=s东

13、华大学生物科学与技术研究所在二项分布中，事件A发生的频率 x/n称 为二项成数，即百分数或频率。则二项成数 的平均数和标准误分别为：也称为二项总体百分数的标准误，当 p 未知时，常以样本百分数 来估计。此时上 式改写为：=称为样本百分数标准误。 东华大学生物科学与技术研究所例：豌豆红花纯合基因型和白花纯合基因型杂 交后，在F2代红花植株与白花植株出现的比例 为3:1。每次观察4株，n=4, 红花出现概率为 p=340.75。（1）红花出现的平均株数=n p = 3.0 (株 ） （2）标准差 =0.8660（株）)1 (pnp -=sn10,1,2,3,4n2n3n4n5n100总体红花出现株数东华大学生物科学与技术研究所一、二项分布 （三）二项分布的形状和参数（1）红花出现的频率的平均数：p n p /n = 3.0/4 = 0.75 = pn1n2n3n4n5n1000,0.25,0.5,0.75,1.0总体红花出现频率二项分布的百分数，成数东华大学生物科学与技术研究所二、泊 松 分 布东华大学生物科学与技术研究所二、泊松分布泊松分布(Poisson distribution) 是一种可以 用来描述和分析随机地发生在单位空间或时 间里的稀有事件的概率分布，也是一种离散 型随机变量的分布。泊松分布是二项分布的一种特殊类型。东华大学生物科