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1、 第五章 向量与矩阵的范数定义： 设 是实数域 （或复数域 ）上 的 维线性空间，对于 中的任意一个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个 实数称为 的范数，记为 ，并且要求范 数满足下列运算条件：（1）非负性：当 只 有且仅有当（2） 齐次性： 为任 意数。*（3） 三角不等式：对于 中的任意两个向 量 都有例 ： 在 维线性空间 中，对于任意的 向量 定义*证明： 都是 上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设*则 其中 且 。引理（Minkowski不等式）：设则 *其中实数 。几种常用的范数定义：设向量 ，对任 意的数 ，称为向量 的 范数。 常用的 范数： （1）1范数 *
2、（2）2范数也称为欧氏范数。 （3） 范数定理：证明：令 ，则*于是有另一方面*故由此可知定义：设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与无关的正数 使得*定理：有限维线性空间 上的任意两个向 量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造新的范数。例 ：设 是 上的向量范数，且，则由所定义的 是 上的向量范数。例 ： 设 数域 上的 维线性空间， *为其一组基底，那么对于 中的任意一个向量 可唯一地表示成又设 是 上的向量范数，则由所定义的 是 上的向量范数。矩阵范数*定义：对于任何一个矩阵 ，用表示按照某一确定法则与矩阵 相对 应的一个实数，且满足（1）非负性：当 只有 且仅有当
3、（2） 齐次性： 为任 意复数。 （3） 三角不等式：对于任意两个同种形 状矩阵 都有*（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以 相乘的矩阵 ，都有那么我们称 是矩阵 的范数。例 1：对于任意 ，定义可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范 数。 *证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的 四条性质即可。非负性，齐次性与三角不 等式容易证明。现在我们验证乘法的相容 性。设 ，则*例 2 ：设矩阵 ，证明：是矩阵范数。证明：非负性，齐次性和三角不等式容易 证得。现在我们考虑乘法的相容性。设，那么*因此 为矩阵 的范数。*例 3 ：对于任意 ，定义可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此 范数为矩阵 的Fro
4、benious范数。证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。 利用Minkowski不等式容易证明三角不等式 。现在我们验证乘法的相容性。设 ，则 *于是有 *例 4 ：对于任意 ，定义证明如此定义的 是矩阵 的范数。证明： 首先注意到这样一个基本事实，即由一个例题可知此定义满足范数的性质。*Frobenious范数的性质：（1）如果 ，那么（2） （3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵 *都有等式关于矩阵范数的等价性定理。 定理：设 是矩阵 的任意两 种范数，则总存在正数 使得*诱导范数定义：设 是向量范数， 是矩阵范 数，如果对于任何矩阵 与向量 都有则称矩阵范数 与向量范数 是相容 的。
5、例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数 是相容的. 证明 : 因为 *根据Hoider不等式可以得到*于是有 例 2 ：设 是向量的范数，则满足矩阵范数的定义，且 是与向量范相容的矩阵范数。 证明：首先我们验证此定义满足范数的四 条性质。非负性，齐次性与三角不等式易 证。现在考虑矩阵范数的相容性。 *设 ，那么 因此 的确满足矩阵范数的定义。 *最后证明 与 是相容的。由上面的结论可知这说明 与 是相容的。 定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范 数 所诱导的诱导范数或算子范数。由 *向量 P-范数 所诱导的矩阵范数称为矩 阵P-范数。即常用的矩阵P-范数为 ， 和 。定理：设
6、 ，则（1）我们称此范数为矩阵 的列和范数。 *（2）表示矩阵 的第 个特征值。我们称此范 数为矩阵 的谱范数。（3）我们称此范数为矩阵 的行和范数。例 1 ：设 *计算 ， ， 和 。解：*因为所以 。练习 ：设或*分别计算这两个矩阵的 ， ， 和 。例 2 ：证明：对于任何矩阵 都有*如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：设 是矩阵范数，则存在向量范数使得证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范 数 ，容易验证此定义满足向 量范数的三个性质，且*例：已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。解：取 。设*那么矩阵的谱半径及其性质定义：设 ， 的 个特征值为，我们称为矩阵 的谱半径。 例 1
7、 ：设 ，那么 *这里 是矩阵 的任何一种范数。例 2 ：设 是一个正规矩阵，则证明：因为 *于是有例 3 ：设 是 上的相容矩阵范数。 证明： （1）（2） 为可逆矩阵， 为 的特征值 则有*例 5 ：如果 ，则 均为可逆 矩阵，且这里 是矩阵 的算子范数。矩阵序列与极限定义：设矩阵序列 ，其中*，如果 个数列都收敛，则称矩阵序列 收敛。进一步，如果那么 我们称矩阵 为矩阵序列 的极限 。 *例 ：如果设 ，其中那么*定理： 矩阵序列 收敛于 的充分必 要条件是其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数必要性：设*那么由定义可知对每一对 都有从而有上式记为*充分性：设那么对每一对 都有即*故
8、有现在已经证明了定理对于所设的范数成立 ，如果 是另外一种范数，那么由范数 的等价性可知*这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。同数列的极限运算一样，关于矩阵序列 的极限运算也有下面的性质。（1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的 。 （2）设*则（3）设，其中 ，那么 （4）设 ，其中*那么（5）设 ，且 ， 均可逆，则 也收敛，且例 1：若对矩阵 的某一范数 ，则*例 2：已知矩阵序列： 则的充要条件是 。证明： 设 的Jordan标准形其中*于是显然， 的充要条件是又因*其中*于是 的充要条件是 。因此 的充要条件是例 3 ：设 是 的相容矩阵范数，则对 任意 ，都有矩阵的幂级
9、数*定义：设 ，如果 个常数项级数都收敛， 则称矩阵级数收敛。如果 个个常数项级数*都绝对收敛， 则称矩阵级数绝对收敛。例 ： 如果设 ，其中*那么矩阵级数是收敛的。*定理：设 ，则矩阵级 数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数 *那么对每一对 都有因此如果收敛，则对每一对 常数项级数*都是收敛的，于是矩阵级数绝对收敛。反之，若矩阵级数绝对收敛，则对每一对 都有*于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都 正确。*定义：设 ，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。*定理：设幂级数 的收敛半径为为 阶方阵。若 ，则矩阵幂级数绝对收敛；若 ，则发散。 *证明： 设 的Jordan标准形为其中于是*所以*其中*当
