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1、 第五章 向量与矩阵的范数定义: 设 是实数域 (或复数域 )上 的 维线性空间,对于 中的任意一个向量按照某一确定法则对应着一个实数,这个 实数称为 的范数,记为 ,并且要求范 数满足下列运算条件:(1)非负性:当 只 有且仅有当(2) 齐次性: 为任 意数。*(3) 三角不等式:对于 中的任意两个向 量 都有例 : 在 维线性空间 中,对于任意的 向量 定义*证明: 都是 上的范数,并且还有引理(Hoider不等式):设*则 其中 且 。引理(Minkowski不等式):设则 *其中实数 。几种常用的范数定义:设向量 ,对任 意的数 ,称为向量 的 范数。 常用的 范数: (1)1范数 *
2、(2)2范数也称为欧氏范数。 (3) 范数定理:证明:令 ,则*于是有另一方面*故由此可知定义:设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数,如果存在两个与无关的正数 使得*定理:有限维线性空间 上的任意两个向 量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造新的范数。例 :设 是 上的向量范数,且,则由所定义的 是 上的向量范数。例 : 设 数域 上的 维线性空间, *为其一组基底,那么对于 中的任意一个向量 可唯一地表示成又设 是 上的向量范数,则由所定义的 是 上的向量范数。矩阵范数*定义:对于任何一个矩阵 ,用表示按照某一确定法则与矩阵 相对 应的一个实数,且满足(1)非负性:当 只有 且仅有当
3、(2) 齐次性: 为任 意复数。 (3) 三角不等式:对于任意两个同种形 状矩阵 都有*(4)矩阵乘法的相容性:对于任意两个可以 相乘的矩阵 ,都有那么我们称 是矩阵 的范数。例 1:对于任意 ,定义可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范 数。 *证明:只需要验证此定义满足矩阵范数的 四条性质即可。非负性,齐次性与三角不 等式容易证明。现在我们验证乘法的相容 性。设 ,则*例 2 :设矩阵 ,证明:是矩阵范数。证明:非负性,齐次性和三角不等式容易 证得。现在我们考虑乘法的相容性。设,那么*因此 为矩阵 的范数。*例 3 :对于任意 ,定义可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此 范数为矩阵 的Fro
4、benious范数。证明:此定义的非负性,齐次性是显然的。 利用Minkowski不等式容易证明三角不等式 。现在我们验证乘法的相容性。设 ,则 *于是有 *例 4 :对于任意 ,定义证明如此定义的 是矩阵 的范数。证明: 首先注意到这样一个基本事实,即由一个例题可知此定义满足范数的性质。*Frobenious范数的性质:(1)如果 ,那么(2) (3)对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵 *都有等式关于矩阵范数的等价性定理。 定理:设 是矩阵 的任意两 种范数,则总存在正数 使得*诱导范数定义:设 是向量范数, 是矩阵范 数,如果对于任何矩阵 与向量 都有则称矩阵范数 与向量范数 是相容 的。
5、例 1 :矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数 是相容的. 证明 : 因为 *根据Hoider不等式可以得到*于是有 例 2 :设 是向量的范数,则满足矩阵范数的定义,且 是与向量范相容的矩阵范数。 证明:首先我们验证此定义满足范数的四 条性质。非负性,齐次性与三角不等式易 证。现在考虑矩阵范数的相容性。 *设 ,那么 因此 的确满足矩阵范数的定义。 *最后证明 与 是相容的。由上面的结论可知这说明 与 是相容的。 定义:上面所定义的矩阵范数称为由向量范 数 所诱导的诱导范数或算子范数。由 *向量 P-范数 所诱导的矩阵范数称为矩 阵P-范数。即常用的矩阵P-范数为 , 和 。定理:设
6、 ,则(1)我们称此范数为矩阵 的列和范数。 *(2)表示矩阵 的第 个特征值。我们称此范 数为矩阵 的谱范数。(3)我们称此范数为矩阵 的行和范数。例 1 :设 *计算 , , 和 。解:*因为所以 。练习 :设或*分别计算这两个矩阵的 , , 和 。例 2 :证明:对于任何矩阵 都有*如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数?定理:设 是矩阵范数,则存在向量范数使得证明:对于任意的非零向量 ,定义向量范 数 ,容易验证此定义满足向 量范数的三个性质,且*例:已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。解:取 。设*那么矩阵的谱半径及其性质定义:设 , 的 个特征值为,我们称为矩阵 的谱半径。 例 1
7、 :设 ,那么 *这里 是矩阵 的任何一种范数。例 2 :设 是一个正规矩阵,则证明:因为 *于是有例 3 :设 是 上的相容矩阵范数。 证明: (1)(2) 为可逆矩阵, 为 的特征值 则有*例 5 :如果 ,则 均为可逆 矩阵,且这里 是矩阵 的算子范数。矩阵序列与极限定义:设矩阵序列 ,其中*,如果 个数列都收敛,则称矩阵序列 收敛。进一步,如果那么 我们称矩阵 为矩阵序列 的极限 。 *例 :如果设 ,其中那么*定理: 矩阵序列 收敛于 的充分必 要条件是其中 为任意一种矩阵范数。证明:取矩阵范数必要性:设*那么由定义可知对每一对 都有从而有上式记为*充分性:设那么对每一对 都有即*故
8、有现在已经证明了定理对于所设的范数成立 ,如果 是另外一种范数,那么由范数 的等价性可知*这样,当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。同数列的极限运算一样,关于矩阵序列 的极限运算也有下面的性质。(1)一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的 。 (2)设*则(3)设,其中 ,那么 (4)设 ,其中*那么(5)设 ,且 , 均可逆,则 也收敛,且例 1:若对矩阵 的某一范数 ,则*例 2:已知矩阵序列: 则的充要条件是 。证明: 设 的Jordan标准形其中*于是显然, 的充要条件是又因*其中*于是 的充要条件是 。因此 的充要条件是例 3 :设 是 的相容矩阵范数,则对 任意 ,都有矩阵的幂级
9、数*定义:设 ,如果 个常数项级数都收敛, 则称矩阵级数收敛。如果 个个常数项级数*都绝对收敛, 则称矩阵级数绝对收敛。例 : 如果设 ,其中*那么矩阵级数是收敛的。*定理:设 ,则矩阵级 数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛,其中 为任意一种矩阵范数。证明:取矩阵范数 *那么对每一对 都有因此如果收敛,则对每一对 常数项级数*都是收敛的,于是矩阵级数绝对收敛。反之,若矩阵级数绝对收敛,则对每一对 都有*于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都 正确。*定义:设 ,称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。*定理:设幂级数 的收敛半径为为 阶方阵。若 ,则矩阵幂级数绝对收敛;若 ,则发散。 *证明: 设 的Jordan标准形为其中于是*所以*其中*当