《分析力学第九章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分析力学第九章（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二部分 刚体动力学 力系的简化 刚体动力学基本方程 惯量张量 刚体定轴转动 刚体平面平行运动 刚体绕固定点的运动 刚体绕定点自由运动 刚体动力学问题的困难之处： 方程的建立需要克服一些困难，需要引入惯量张 量和运用一些技巧； 动力学方程组是非线性的。 解决动力学问题的理论和方法： 运用质点系的三大定律来解决； 运用分析力学的方法建立运动方程。 刚体动力学理论对现代科学技术用重要作用力的作用线不能随意移动力的可传性原理：1 力系的简化滑移矢量刚体上的力沿其作用线 移动，力的效果不变P 点: 故P 点受到一个力 和一个力偶矩 设: 为作用在刚体A点上的一 个力, P为空间任一点. 定理: 任意力
2、系总可简化为通过某定点（即简化为中心 ，一般取质心）的一个单力（主矢）及一力偶 矩 （主矩）. (主矢): 使刚体质心平动运动状态发生变化. (主矩): 使刚体绕通过质心轴线的转动状态发生变化. 2 刚体动力学基本方程 刚体是以特殊的质点组，自由度s=6利用质点组基本定理和守恒律来处理刚体运动问题刚体一般运动： 随参考点的平动与绕参考点的转动在动力学中以质心为参考点由动量定理可以求出刚体随质心的平动由角动量定理可以求出刚体绕质心的转动3 惯量张量一、角动量与角速度的关系普通物理中，对于定轴转动角动量的定义若质量连续分布已知刚体绕固定点O转动，角度度为角动量为由于绕定点转动角动量可以表示为投影到
3、任意选定的以O 为原点的坐标系轴上的投影为同样有其中这些量写成二级张量的形式表示成矩阵的形式为角动量与角速度的关系式可以写成惯量张量的性质：惯量张量作为一个整体表示刚体绕固定点转动 中的惯性大小。平动：转动：若决定了绕 轴转动时角动量在 轴方向的分量的大小决定了绕 轴转动时角动 量在 轴方向的分量 的大小在某一时刻，刚体对固定点的惯量张量取决于 该刚体相对于固定点的质量分布，与坐标系的 选择无关，但惯量张量的各个分量与坐标系的 选择有关。同一刚体对不同参考点的惯量张量不同，因为 对不同的参考点，质量的分布是不相同的。当 刚体以相同的角速度绕不同点转动时，刚体的 角动量不一样。与角动量一样，惯量
4、张量也必 须指明其参考点。二、惯量主轴1、惯量主轴与主转动惯量一般情况下，角动量与角速度的方向不相同对一定点O，总能找到一些特殊方向，当刚体绕 这些方向转动时，角动量与角速度的方向相同， 这些方向称为刚体上O点的惯量主轴方向。当角动量与角速度的方向相同时，有分量方程为有非零解的条件是系数行列式为零惯量张量是实对称矩阵，有实 本征值和至少三个两两正交的 本征矢量，这些本征矢量的方 向就是惯量主轴的方向。可以解得 的三个根， 代入分量方程，可以 得到三组角速度分量 的值，它们构成所 要求的三个特殊方向，即惯量主轴方向2、主轴坐标取刚体上某点O为坐标原点，过该点的三个两两 正交的主轴为坐标轴Ox、O
5、y和Oz，这种固定在 刚体上的特殊坐标称为O点的主轴坐标。在主轴坐标中，惯量张量具有对角形式在主轴坐标中，角动量与角速度的关系简化为或形 式 上 的 简 化3、寻找惯量主轴的方法 代数方法：求本征值和本征矢量的方法几何方法：有一定对称性的均匀刚体 若刚体通过固定点存在一对称面，则过定点垂直 于对称面的轴就是主轴若刚体通过固定点存 在一对称轴，则对称 轴是一个主轴当找到两个相互垂直的主轴后，与这两个主轴垂 直的第三根轴一定也是主轴若则空间中的一切方向都是O点的主轴方向若则xy平面中的一切方向都是O点的主轴方向4、任意方向转轴的转动惯量与主转动惯量之间的关系主坐标系过固定点O的任意转轴方向余弦为单位矢量为对 轴的转动惯量为四、刚体转动动能与角速度的关系由柯尼希定理对于定点转动，刚体上任意一点的速度为刚体动能可表示为刚体动能为也可以表示为在主坐标系下刚体的动能为或4 刚体的定轴转动一、定轴转动的基本方程为维持A、B两点不动，刚体受有约束力由动量定理是刚体上第i个质点收到的外力：主动力由对定点 A（也可选B或质心）的角动量定理，得取固定坐标系的 轴沿 方向角速度 沿 轴方向表示刚体绕 轴转过的角度根据角动量与角速度的关系有刚体定轴转动的基本方程
