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1、2.3 均差与牛顿插值公式2.3.1 插值多项式的逐次生成问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.问题：如何改进？（3.1）其中 为待定系数，确定 .为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式:可由 个插值条件此时 可看成是由基函数逐次递推得到的.由 ，当 时， 当 时，依此递推可得到 . 当 时，推得推得由易知:为 的二阶均差.称 为函数 关定义2一般地，称为 的 阶均差（均差也称为差商）.2.3.2 均差及其性质于点 的一阶均差.称均差有如下的基
2、本性质： 这个性质可用归纳法证明. 1 阶均差可表示为函数值 的线性组合，这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性. 即3 若 在 上存在 阶导数，且节点这公式可直接用罗尔定理证明.2 由性质1及均差定义可得 即则 阶均差与导数关系如下：均差计算可列均差表如下（表2-1）. 2.3.3 牛顿插值公式根据均差定义，把 看成 上一点， 可得只要把后一式代入前一式，就得到 其中 显然， 由前式确定的多项式 满足插值条件，且次数不超过 ，称 为牛顿（Newton）均差插值多项式. 系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.其系数为 它就是形如（3
3、.1）的多项式，但其更有一般性，它对 是由离散点给出的情形或导数不存在时也是适用的.由插值多项式惟一性知，此处的插值余项，与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的.牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可.解 首先根据给定函数表造出均差表 给出 的函数表（见表2-2），求3次牛顿插值多项式，并由此计算 的近似值.例1012313927一阶均 差二阶均 差三阶均 差0113229623271864/3首先根据给定函数表造出均差表. 给出 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算 的近似值.例2于是 按牛顿插值公式，将数据代入截
4、断误差 这说明截断误差很小，可忽略不计. 2.3.4 差分形式的牛顿插值公式 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多. 设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称为步长.为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.记号 定义3分别称为 在 处以 为步长的一阶(向前)差分，一阶(向后)差分及中心差分. 符号 ， ， 分别称为向前差分算子，向后差分算子及中心差分算子.若称I为不变算子,E为步长为h的位移算子.利用一阶差分可定义二阶差分为 一般地可定义 阶差分为 由上面定义的差分算子，易推出差分可用函数值表 示，函数值也可用差分表示，均差也可用差分表示。由 此可推导出各种形式的等距节点插值公式。还可导出均差与差分的关系:一般地在牛顿插值公式中用差分代替均差,并令 ,则得余项为(牛顿前插公式)
