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1、 一矢量代数一章内容回顾本章系统介绍了矢量的代数运算及其规律、 几何意义.这实质上是阐述了空间 结构代数化的过程。因为矢量可以运算,因此将几何结构矢量化,也就把代数运算带到了几何里来了。这一过程可以用下面的图表加以归纳概括：1、几何结构矢量化图表几何结构 代数结构几何特征 矢量形式 有向线段、点矢量、径矢三角形、平行 四边形矢量的加法、 减法放大、缩小， 定比分点数乘矢量、线 性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构 代数结构几何特征 矢量形式 有向线段、点 矢量、径矢三角形、平行 四边形矢量的加法、 减法放大、缩小， 定比分点数乘矢量、线 性运算长度、夹角数性
2、积面积矢性积体积混合积A1、几何结构矢量化图表几何结构 代数结构几何特征 矢量形式 有向线段、点矢量、径矢三角形、平行 四边形矢量的加法、 减法放大、缩小， 定比分点数乘矢量、线 性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构 代数结构几何特征 矢量形式 有向线段、点 矢量、径矢三角形、平行 四边形矢量的加法、 减法放大、缩小， 定比分点数乘矢量、线 性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构 代数结构几何特征 矢量形式 有向线段、点 矢量、径矢三角形、平行 四边形矢量的加法、 减法放大、缩小， 定比分点数乘矢量、线 性运算长度、夹角数性
3、积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构 代数结构几何特征 矢量形式 有向线段、点 矢量、径矢三角形、平行 四边形矢量的加法、 减法放大、缩小， 定比分点数乘矢量、线 性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构 代数结构几何特征 矢量形式 有向线段、点 矢量、径矢三角形、平行 四边形矢量的加法、 减法放大、缩小， 定比分点数乘矢量、线 性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积矢量加法满足(1)(2)(3)(4)数乘矢量满足(5)(6)(7)(8)数性积满足(9)(10)(11)矢性积满足(12)(13)(14)我们把矢量的集合记为V，由于V中定义了满
4、 足-的加法和满足-的数乘矢量连中运算, 因此V构成高等代数里讲的实数域上的矢量空间， (或称线性空间);由于V又规定了满足-的数性 积，因此我们称V是欧几里得矢量空间。 因此在空间引进了以有向线段表示的矢量与满 足的加法运算、满足的数乘矢量以及 满足的矢量的数性积，实际上是把空间的几何结构代数化为欧几里得矢量空间的一个模型。这 样以来就可以把几何里的一些推论转化为这个欧几 里得矢量模型上的以矢量的运算为基础的代数运算， 因此代数的方法也就引入到几何里来了。数量的关系。这个关系是通过建立坐标系沟通的。几何结构矢量化，只是将代数运算带到了几何里来，它可以研究几何里的一些定性问题，如：共线、共面、
5、中点等。它还不能解决有关定量的问题， 但许多几何问题研究的是数量关系，所以在几何中要进行数的计算，还要沟通几何结构（或矢量）与本章是通过矢量引进标架来建立坐标系和坐标概念的。在空间，给定一点O和不共线的三个矢量，则O；就叫做空间的一个标架.有了标架，空间的矢量或点就有了坐标。3.空间坐标系在空间坐标系下引进坐标以后，空间的点P就与有序数组(x,y,z) 建立了一个一一对应关系，这个关系就叫做空间的 坐标系。在坐标系下，点有了坐标，矢量有了分量，作为空间点的轨迹的空间图形就有了方程，这就使 得空间结构数量化了。这样不仅把有关几何图形的问题同矢量的运算联系起来了，而且使得矢量的运 算转化为实数的运
6、算，把几何问题的讨论推进到了可以进行计算的定量的层面，这样也就达到了数与形的结合,达到了用矢量方法解决几何问题的目的。4.主要结论及其代数表示 引进坐标以后,矢量的运算转化为数量的计算.设在右手笛卡尔直角坐标系下，则5矢量代数中某些结论（含数量表示）（1）与 共线(平行)与线性相关 不全为零的实数使可用 或可用线性表出（2）共面线性相关不全为零的一组数使中至少有一个是另两个的线性组合若不 共线，则使其中被唯一确定唯一确定.而 可由方程组 解得.（4）不共面时，对空间任一矢量,有,且 被使（3）用代数方法解决几何问题包括矢量方法和坐标标方法，坐标方法就是通过建立坐标系，使点有坐标，图形有方程，使
7、几何结构数量化，把几何问题推到了可以计算的层面上。后面几章实际都是这种方法。而建立坐标系，可以直接建立，也可以通过矢 量建立。我们采用的教材是通过矢量建立的。所以第一章安排矢量代数，既介绍了解决几何问题的矢量方法，又通过矢量引进了坐标，一举两得。二（一老一新）两个重要几何命题的矢量证法用矢量方法解决中学几何问题是用代数方法解几何问题的一个方面，国外早已使用，我们现在也也已把它纳入普通高中的新教材，我们应该注意学习这种方法。用矢量方法解决中学几何问题是中学教学研究中的一个热点内容,数学通报、数学通讯等期刊上经常有这方面的文章发表。下面两例就是从最近两年的论文中选取的。例1 若三个半径为r的圆都经
8、过同一点O,而半径也是r。试证之。 这是美国数学家Royer Johnson于1916年 提出的一个定理。此定理证法很多，迄今为止比 较简单的一种是Frank Bernhart提出的构造 法。但最简捷、更直 观的证法还是用矢量 方法的证明(此证法可不必画图)。另外三个交点为,则的外接圆证明 设三个圆的圆心分别为,则有O而外接圆的半径为r外接圆的半径为r。例2 （2001年全国普通高考（19）题） 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线 于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC平行于 x轴，证明直线AC经过原点O.ABFCO由于A、F、B共线，所以可设即可见，故A,O,C共线。即AC经过原
9、点。三. 矢量运算应注意的主要问题 主要是理解和区别数性积与矢性积： 表示一个数，；而，且按顺序成右手系。表示一个矢量，其模其方向：1.是完全不同的两个量，前者是数，后者是一个矢量。所以在运算中不能互相代替. 2.都是特定的完整的符号，不能拆开,不能与其它矢量任意结合.如一般的3.数性积主要用于长度、角度、垂直问题，而矢性积 主要用于面积问题、平行问题。4.都推不出或四. 解析几何的意义 解析几何是用代数方法解决几何问题的一门学科.它的诞生是数学史上一个伟大的里程碑.它的意义表现在：1. 使数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几 何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学；2.以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学,为 微积分的诞生奠定了基础；3.使代数和几何融为一体，实现了几何图形的数字化, 是数字化的先声；4.代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实 的束缚，帮助人们从现实世界进入虚拟世界，从三维空间 进入到更高维的空间.
