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1、1第七章第七章 分析化学中的数据处理一、基本术语一、基本术语 二、数据集中趋势的表示方法二、数据集中趋势的表示方法 三、三、数据分散程度的表示方法数据分散程度的表示方法1 1 分析结果的数据处理分析结果的数据处理1第七章第七章 分析化学中的数据处理一、基本术语总总体 样样本 个体 样样本容量 1. 总总体(或母体) 对对于所考察的对对象的全体 2. 样样本(或子样样) 自总总体中随机抽出的一组组 测测量值值。 3. 个体 单单个测测量值值。 4. 样样本大小(或样样本容量) 样样本中所含测测量 值值的数目。1第七章第七章 分析化学中的数据处理例如对某批矿石中的铁含量进行分析，经取样、细碎、缩分
2、 后，得到一定数量(例如500g)的试样供分析用。这就是分析 试样，是供分析用的总体。如果我们从中称取8份试样进行 平行分析，得到8个分折结果，则这一组分析结果就是该矿 石分析试样总体的一个随机样本，样本容量为8。 1第七章第七章 分析化学中的数据处理二、数据集中趋势的表示方法二、数据集中趋势的表示方法（二）（二）总体平均值当测定次数无限增多时，所得平均值即为总体平均值 （一）算术平均值（一）算术平均值 设样本容量为设样本容量为n n，则其平均值为则其平均值为 1第七章第七章 分析化学中的数据处理三、数据分散程度的表示方法数据分散程度的表示方法n n（一）平均偏差（一）平均偏差n 平均偏差又称
3、算术平均偏差，用来表示一 组数据的精密度。1. 样本的平均偏差2.总体的平均偏差1第七章第七章 分析化学中的数据处理（二）标准偏（二）标准偏差 标准偏差又称均方根偏差,标准偏差的计算分两种情况： 1 1当测定次数趋于无穷大时当测定次数趋于无穷大时, , 总体标准偏差: 2 2有限测定次数，有限测定次数，样本标准偏差 ：3. 相对标准偏差 （变异系数）三、数据分散程度的表示方法数据分散程度的表示方法标准偏差标准偏差比平均偏差比平均偏差 更能体现分散程度更能体现分散程度1第七章第七章 分析化学中的数据处理例如：下列两组测量数据的平均偏差值均为0.24。+0.3，-0.2，-0.4，+0.2，+0.
4、1，+0.4，0.0，-0.3，+0.2，-0.30.0，+0.1，-0.7，+0.2，-0.1，-0.2，+0.5，-0.2，+0.3，+0.1 若用标准偏差来表示，则可将它们的分散程度区分开来。 但是第二组数据包含有两个较大的偏差(-0.7和+0.5)，分散程度 明显地大于第一组数据。1第七章第七章 分析化学中的数据处理(三)平均值的标准偏差样本平均值是非常重要的统计量，通常以它来估计总体平均 值。今假定x1，x2，xn是从总体中抽出的一组容量为n 的样本，它们是n个相互独立的变量。可以用统计学方法证 明：这一组样本的平均值的标准偏差与单次测量结果的标准 偏差之间有下列关系：对于有限次测量
5、值 三、数据分散程度的表示方法数据分散程度的表示方法1第七章第七章 分析化学中的数据处理增加测定次数, 可使平均值的 标准偏差减小 。 n n平均值的标准偏差与 测定次数的关系实际工作中，一般平行测定34 次就够了；较高要求时可测定5 9次。测定次数达10次以上， 的相对值改变已很小了。5 10 15 201.00.5可以得到平均值的平均偏差 与单次测量的平均偏差之间 关系 平均值的标准偏差与测定次数的关系1第七章第七章 分析化学中的数据处理例3某试样中铝质量分数的测定值为：1.62 ，1.60，1.30，1.22。计算平均值 的平均偏差及标准偏差。解 x=1.44%，d=0.18%，s=0.
6、20%，故1第七章第七章 分析化学中的数据处理分组 频数 相对频数1.265%1.295% 1 0.011.295%1.325% 4 0.041.325%1.355% 7 0.071.355%1.385% 17 0.171.385%1.415% 24 0.241.415%1.445% 24 0.241.455%1.475% 15 0.151.475%1.505% 6 0.061.505%1.535% 1 0.011.535%1.565% 1 0.01一 频数分布2 2 随机误差的正态分布随机误差的正态分布1第七章第七章 分析化学中的数据处理二、正二、正 态态 分分 布布aX=时，y值最大，此即
7、分布曲线的最 高点。它体现了测量值的集中趋势。即大 多数测量值集中在算术平均值的附近。三组精密度不同的测定 值的正态分布曲线b曲线以通过X=这一点的垂直线为对称 轴。则正误差和负误差出现的概率相等c当x趋向于 - 或 +时，曲线以x轴为 渐近线，说明小误差出现的概率大，大 误差出现的概率小，出现很大误差的概 率极小，趋近于零。1第七章第七章 分析化学中的数据处理dX=时的概率密度为： 越大，测量值落在附近的概 率越小。即精密度越差，测量值 的分布就越分散，曲线越平坦。 反之，越小，测量值的分散程 度越小，曲线越尖锐。 1第七章第七章 分析化学中的数据处理三组精密度不同的测定 值的正态分布曲线结
8、论结论 :1.规规律对对称性:正负误负误 差出现现的概率相等小误误差出现现的概率大;大误误差出现现的概率小2.图图形值对应值对应 的概率密度是最大的值值相同而不同时时,曲线线形状不同3.值值值值大,曲线线平缓缓,数据分散;值值小,曲线线陡峭,数据集中;1第七章第七章 分析化学中的数据处理二、标二、标 准准 正正 态态 分分 布布 曲曲 线线令由于正态分布曲线随及 的不同而不同,曲线形状也 不同.研究起来不方便,将曲 线标准化.1第七章第七章 分析化学中的数据处理正态分布曲线与横坐标所夹面积为所有测量值出现的概率的总和随机误差 测量值 概率 出现的区间 出现的区间 u=1 x=1 68.3% u
9、=2 x=2 95.5% u=3 x=3 99.7% u= x= 100%随机误差超过3的测量值出现的 概率是很小的，仅占0.3。因而， 在实际工作中，如果多次重复测量中 的个别数据的误差的绝对值大于3 ，则这些测量值可以舍去 三、随三、随 机机 误误 差差 的的 区区 间间 概概 率率1第七章第七章 分析化学中的数据处理例:某试样含钴1.75%, =0.10,无系统误差,求(1)分析结果落在 1.75 0.15%范围内的概率; (2)测定结果大于2.00%的概率.u=1.5, 查书248页表7-2概率y=0.43322=0.8664=86.64%(1)(2)查书248页表7-2, 概率y=0
10、.4938 整个曲线右侧面积为0.5000大于2.00%的概率y=0.5000-0.4938=0.62%单边检验:1第七章第七章 分析化学中的数据处理例:对某试样含量进行150次分析,已知分析结果符合正态分布 N(55.20,0.202),求分析结果大于55.60%的最可能出现的次数.解: N(55.20,0.202) =55.20 =0.20查书248页表7-2, 概率y=0.4773单边检验:出现在 2内(55.60)的概率为0.4773整个曲线右侧面积为0.5000大于55.60%(2外)的概率y=0.5000-0.4773=0.02270.0227150=3.4=3次1第七章第七章 分
11、析化学中的数据处理随机误差是由一些偶然的原因造成的。当测定次数无限次 时，其符合正态分布，若为有限次测定时则为 t 分布。n=6一. t 分布3 3 少量数据的统计处理少量数据的统计处理当f时, t分布正态分布1第七章第七章 分析化学中的数据处理有限次测定平均值与总体平均值关系为置信度置信度P P 真值在置信区间出现的概率真值在置信区间出现的概率 . .也就是说它表示在也就是说它表示在 某一某一t t值时，测定值落在值时，测定值落在( ( ts ts) )范围内的概率。范围内的概率。显著性水准显著性水准aa落在落在( ( ts ts) )范围以外的概率范围以外的概率, ,即即(1-(1-P P
12、) )置信区间置信区间在一定的置信度下，以平均值为中心在一定的置信度下，以平均值为中心, ,包括总体包括总体 平均值的范围（或真值出现的范围）。平均值的范围（或真值出现的范围）。二、置信度与置信区间二、置信度与置信区间 1第七章第七章 分析化学中的数据处理47.500.10(置信度为95)，应当理解为在47.50 0.10的区间内包括总体平均值的概率为95。 置信度越高，置信区 间就越大，即所估计 的区间包括真值的可 能性也就越大，在分 析化学中一般将置信 度定在95或90二、置信度与置信区间二、置信度与置信区间 1第七章第七章 分析化学中的数据处理t 分布曲线形状与 t 值和 f 值有 关。
13、不同 f 值及概率所相应的 t 值已计算出来， 见左表。250页 表7-3表2-1 ta,f 值表 1 1. . 置信度不变时置信度不变时:n 增加, t 变小,置信 区间变小 2. 2. f f 不变时不变时：置信度增加, t 变大,置 信区间变大影响t 分布曲线形状的因素?1第七章第七章 分析化学中的数据处理例5 对某未钢铁试样中铬-的质量分数进行测定，5次结果 为1.11%，1.12，1.12，1.15%，1.16。计算置信 度为90，95和99时，总体平均值的置信区间。 解1.13%0.022%1第七章第七章 分析化学中的数据处理置信度为90%时，t0.10,4=2.13 置信度为95
14、%时，t0.05,4=2.78置信度为99%时，t0.01,4=4.60 结论: 置信度越高，置信区间就越大，即所估计的区间包括真值的可 能性也就越大，这不难理解，区间的大小反映估计的精度。置 信度的高低说明估计的把握程度。100%的置信度意味着区间无 限大，肯定会包括，但这样的区间是无意义的。在分析化学中 ，一般将置信度定在95或90。1第七章第七章 分析化学中的数据处理例6对某未钢铁试样中铬-的质量分数进行测定，先测定2 次结果为1.13%，1.15；再测定3次，测得数据为1.11 ，1.16%，1.12。试分别按两次测定和5次测定的 数据计算总体平均值的置信区间。 解两次测定 1.13%， 1.15 0.014%查表2-2 t0.05,1=12.71 1第七章第七章 分析化学中的数据处理5次测定数据 1.11%，1.12，1.12，1.15%，1.16。 1.13%0.021%查表 t0.05,4=2.78 结论在一测定范围内，适当增加测定次数，可以使置信区 间 显著缩小，即可使x与 更接近。1第七章第七章 分析化学中的数据处理三、三、
