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1、逻辑代数主要内容一、 逻辑代数的三种基本运算 二、 逻辑代数基本定律及常用公式三、 逻辑函数及其表示方法逻辑代数的基本概念（1）逻辑变量：是逻辑代数中的变量，通常用 字母A、B、C、D（原变量）等表示，若用 等包含非运算符的叫做反变量。（2）逻辑函数：是逻辑变量通过各种逻辑运算符构成 的式子，记为注意注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是逻辑 变量还是逻辑函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只 表示两种不同的状态，没有数量的含义。1、 与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件 （A，B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。表达 式为：开关A，B串联控制灯泡
2、Y一、三种基本运算与、或、非（反）。逻辑代数的三种基本运算两个开关必须同时接通， 灯才亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应 结果一一列出来的表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0； 灯亮记作1，灯灭记作0。可以作 出如下表格来描述与逻辑关系：功能表实现与逻辑的电路 称为与门。与门的 逻辑符号：真 值 表逻辑符号2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A ，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y） 就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡Y两个开关只要
3、有一个接通， 灯就会亮。逻辑表达式为：+ +A、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。A接通、B断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。实现或逻辑的电 路称为或门。或 门的逻辑符号：Y=A+BY=A+B真值表功能表逻辑符号3、 非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（ A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式 为：开关A控制灯泡Y实现非逻辑的电 路称为非门。非 门的逻辑符号：Y=AY=AA断开，灯亮。A接通，灯灭。真 值 表功 能 表逻辑符号（1）与非运算：逻辑表达式为：（2）或非运算：逻辑表达式为：一些常用的复合逻辑运算（4）异或运算：逻辑表达式为：（3
4、） 与或非运算：逻辑表达式为：练习1：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，其中A是主 裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判 ）时，运动员的试举才算成功。当用Y表示举重结果时 ，Y与A,B,C的逻辑关系可表示为：解: Y=AB+AC=A(B+C)（1）常量之间的关系（2）基本公式分别令A=0及 A=1代入这些 公式，即可证 明它们的正确 性。逻辑代数基本定律及常用公式 1、 基本定律 （3）基本定理利用真值表很容易证 明这些公式的正确性 。如证明AB=BA：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率 A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂率AA=A=A(1+B+C
5、)+BC分配率 A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1证明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)证明：2、常用公式分配率 A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=10-1率A1=1例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中 的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：逻辑代数的三项规则（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规 则称为代入规则。（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”， 原变量换成反变量，反变量换成原变量原变量
6、换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就 是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。 例如：（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而 变量保持不变变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为 函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少 一半。例如：注意注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的 优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运
7、算，否则容易出错。逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、 C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2 是相等的，记为Y1=Y2。若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此 ，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表 ，看看它们的真值表是否相同即可。证明等式：逻辑函数间的相等逻辑函数的表示方法1、真值表真值表：是由变量的所有可 能取值组合及其对应的函数值所构 成的表格。真值表列写方法：每一个变量均 有0、1两种取值，n个变量共有 种 不同的取值，将这种 不
8、同的取值按 顺序（一般按二进制递增规律）排列 起来，同时在相应位置上填入函数的 值，便可得到逻辑函数的真值表。例如：当A=B=1、或则B=C=1时 ，函数Y=1；否则Y=0。一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与 非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个 逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的 。2、逻辑表达式逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来 所构成的式子。函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使 函数值为1的组合取出，变量取值为1的写成原变量，变量取值为0 的写
9、成反变量，最后将这些组合所表示的乘积项相或，便得到函数 的标准与或表达式。逻辑函数表达式的标准形式该式即Y逻辑函数的标准与或式， 表达式中的乘积项也具有标准的 形式，这样的乘积项称为最小项逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部 变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现 一次，则这个乘积项称为该函数的一个最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下 标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量 顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进 制数相对应的十进制数，就
10、是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：（3）最小项的性质：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为1。ABCABC3变量全部最小项的真值表A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
11、 任意两个不同的最小项的乘积必为0。3、卡诺图卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的 方格图，在这个方格图中，每个小方格代表逻辑函数的一个最小 项，而且几何相邻的小方格具有相邻性，即两个相邻小方格所代 表的最小项仅一个变量取值不同。变量n=2变量n=3变量n=41、卡诺图的特点卡诺图的特点：是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的 。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余 因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。每个2变 量的最小项 有两个最小 项与它相邻 。每个3 变量的最 小项有3 个最小项 与它相邻 。每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻。最左列的最小 项与最右列的相应 最小项也是相邻的 。最上面一行的 最小项与最下面一 行的相应最小项也 是相邻的。两个相邻最小项可以合并消去一个变量逻辑函数在卡诺图中的表示（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺 图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。m1 m3m4m6m7m11m14m154、逻辑（电路）图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形，与实际电 路最为接近。
