理论力学8—刚体的平面运动

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1、 概述本章在刚体的平动和定轴转动两种简单运动的基础上，讨论一 种较为复杂的运动刚体的平面运动。前面讨论的刚体平动和定轴转动是最基本的运动形式，工程中 常见的运动形式还有刚体的平面运动。1、平动和定轴转动这两种基本运动的合成；2、刚体绕不断运动的轴的转动。理论力学课 “理论易懂题难做”的特点在这一章体现的比较明显。本章对刚体的平面运动进行概述 把刚体平面运动分解为随基点的平动和绕基点转动得出了求速度的基点法、速度投影定理、速度瞬心法三种方法。得出了求加速度的基点法，并对其进行了应用和练习。 最后对运动学的综合应用进行练习。可将刚体的平面运动看成： 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始 终保

2、持相等的距离，这种运动称为平面运动。此处有 影片播 放8.1 刚体平面运动概述和运动分解MNSA1A2A刚体上每一点都在与固定 平面M平行的平面内运动。 若作一平面N与平面M平行,并以此去截割刚体得一平 面图形S。可知该平面图形 S始终在平面N内运动。因而垂直于图形S的任一 条直线A1A2必然作平动 。A1A2的运动可用其与图形 S的交点A的运动来替代 。刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。8.1 刚体平面运动概述和运动分解提问1：若把黑板擦看做是刚体，则擦黑板时，黑板擦可以在黑 板面内杂乱无章的运动，黑板擦的运动有无共同特征，黑板擦做 什么运动？ 提问2：刚体的平面运动是

3、一个刚体的运动 ，但为什么称其为平 面运动而一般不用其他的称呼？ 刚体在运动时，若刚体上任意一点A与某一个固定平面始终保持相 等的距离。即一个刚体的运动可以用一个平面图形的运动来代替，刚体平面 运动的称呼由此而得来。从刚体上此点向固定平面做一垂线，则此线段在运动过程中不会 倾斜，即此线段在作平动。 其上各点的轨迹形状、速度、加速度均相同，因此点A的运动情况 即可代替此线段的运动。 过点A做一平行于固定平面的平面，则此平面在刚体上截出一平面 图形。 此图形上各点均可以代表相应线段的运动，因此此平面图形的运 动即可代表此刚体的运动。8.1 刚体平面运动概述和运动分解SBAyxOj平面图形S在其平面

4、上的位置完全可 由图形内任意线段AB的位置来确定。而要确定此线段的位置，只需确定线 段上任一点A的位置和线段AB与固定 坐标轴Ox间的夹角j即可。 点A的坐标和j角都是时间的函数，即xA = f1(t)yA = f2(t)这就是平面图形的运动方程。 平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按点A的运动方程xA = f1(t), yA = f2(t)的平移，没 有转动 另一部分是绕A点转角为j = f3(t)的转动。j = f3(t)8.1 刚体平面运动概述和运动分解平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释 。yxOyxO以沿直线轨道滚动的车轮为例同样可把轮子这种较为复杂

5、的平面运动 分解为平动和转动两种简单的运动。取车厢为动参考体，以轮心点O为原 点取动参考系Oxy。则车厢的平动是牵连运动车轮绕平动参考系原点O的转动是相 对运动。 二者的合成就是车轮的平面运动(绝对 运动)。 单独考虑轮子作平面运动时，可在轮 心O处固连一个平动参考系Oxy 。8.1 刚体平面运动概述和运动分解对于任意的平面运动，可在平面 图形上任取一点o，称为基点。在这一点假想地安上一个平动 参考系oxy；平面图形运动时，动坐标轴方 向始终保持不变。可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy 。于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平动和 绕基点转动这两部分运动的合成。yxOyxO8.1 刚体平面

6、运动概述和运动分解研究平面运动时，可以选取不同的点作为基点。 图示曲柄连杆机 构中连杆AB作平 面运动。ABOwyxxyjj一般平面图形上各点的运动情况不同。因此，在平面图形上选取不同的基点，其动参考系 的平动是不一样的，其速度、加速度也不相同。点A作圆周运动。点B作直线运动。8.1 刚体平面运动概述和运动分解ABOwyxxyjj如果运动开始时 OA和AB都位于水 平位置，运动中的 任意时刻：AB绕点A或绕点B 的转角由于任意时刻的转角相同，其角速度、角加速度也必 然相同。相对于各自的平动参考系Ax“y“、Bxy都一样都等于相对固定参考系的转角j,8.1 刚体平面运动概述和运动分解结论：平面运

7、动可取任意点为基点，运动可分解为随基 点的平动和绕基点的转动。而绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择 无关。其中平动的速度和加速度与基点的选择有关8.2 求平面图形内各点速度的基点法平面图形的运动可分解为两个运动： 1、牵连运动，即随同基点的平动； 2、相对运动，即绕基点的转动。 于是，平面图形内任一点B的运动可看成是两个运动的合成，用 速度合成定理来求它的速度基点法。BwvBAvA A因为牵连运动是平动，所以点B的牵连速度 等于基点的速度vA。 因为点B的相对运动是以点A为圆心的 圆周运动，vAvB所以点B的相对速度等于平面图形绕 点A转动时点B的速度，以vBA表示 。其大小为：8.2

8、求平面图形内各点速度的基点法ABw这就是平面运动的速度合成法或称基点法。由速度合成定理vBvA vBAvA可得：平面图形内任一点的速 度等于基点的速度与该 点随图形绕基点转动速 度的矢量和。8.2 求平面图形内各点速度的基点法例1 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l=20cm，滑块A的 速度vA=10cm/s，求连杆与水平方向夹角为30时，滑块B和 连杆中点M的速度。解: AB作平面运动，以A为基点， 分析B点的速度。由图中几何关系得：方向如图所示。30AvABwAB30MvBvAvBA8.2 求平面图形内各点速度的基点法以A为基点，则M点的速度为将各矢量投影到坐标轴上得：解之得AvAvAv

9、MABwAB30MvMxya8.2 求平面图形内各点速度的基点法例2 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿 轮I只滚而不滑动，半径为r2。杆OA角速度为wO。求轮II的角速 度wII及其上B、C两点的速度。 解:行星齿轮II作平面运动，求得A点的速度为vAwO ODACBvAvDAwIIIII以A为基点，分析两轮接触点D的速度。由于齿轮I固定不动，接触点D不 滑动，显然vD0因而有vDAvAwO(r1+r2)，方向 与vA相反vDA为点D相对基点A的速度，应有 vDA wIIDA。所以8.2 求平面图形内各点速度的基点法vAwO ODACBvA vCAvCvB vBAvA

10、wIIIII以A为基点，分析点B的速度。vBA与vA垂直且相等，点B的速度以A为基点，分析点C的速度。vCA与vA方向一致且相等，点C的速度8.2 求平面图形内各点速度的基点法基点法总结： 基点既可以是平面图形内的一点，也可以是平面图形扩展部分的 一点。它实际上是动系的坐标原点，一般习惯上称之为基点。 当刚体做平面运动时，只有基点和刚体相连，动系坐标轴并不与 刚体相连，因此基点相当于和刚体铰链连接，动系始终在做平动 。 选择的基点不同，其速度、加速度一般也不同。刚体相对静系的角速度、角加速度是绝对角速度、角加速度。但刚体绕基点转动的角速度、角加速度相同，不可能在同一瞬时 刚体绕不同的基点有不同

11、的角速度、角加速度。角速度和角加速度是刚体整体性质的度量，线速度、线加速度是 刚体局部性质的度量。 因动系始终在作平动，刚体相对动系的角速度、角加速度是相对 角速度、角加速度；8.2 求平面图形内各点速度的基点法ABwvBvA vBAvA若图形内某点A的速度为vA，图形的角 速度为，则图形内任一点B的速度vB 以公式表示为：称此方法为平面图形内各点速度的 基点法。 应用基点法的条件是：图形内一点速度大小、方向均为已 知，图形的角速度已知，则可确定 图形内任一点的速度。但在许多题目中，往往是已知图形 内一点速度的大小和方向，已知另 一点速度的方向，图形的角速度未 知，无法使用基点法。 8.2 求

12、平面图形内各点速度的基点法同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相 等。这就是速度投影定理。引入速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此vBAAB=0。于是将等式两边同时向AB方向投影:ABwvBvA vBAvA8.2 求平面图形内各点速度的基点法在已知平面图形内一点的速度大小、方向，另一点的速度 方向时，用速度投影定理可以很方便地求出另一点的速度 大小。在投影计算中，一般要规定投影轴的正向，但在速度投影 定理中，不用规定投影轴的正向，只要沿A、B两点连线 投影即可。但由于速度投影定理是沿A、B两点连线投影的，vBA在此 投影中不出现，所以不能求出图形的角速度。8.2 求平面图形内各点速度

13、的基点法例3 用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得解得AvAvBB308.3 求平面图形内各点速度的瞬心法在平面图形内能否找到一点，其速度为零，例如A点，vA=0， 若选此为基点，由基点法公式，有：则求速度岂不更方便？这一点是否存在？ 如何称呼这一点？如何找出这一点？用这种方法求速度称为什么方法？8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个 速度为零的点。wS设有一个平面图形S，角速度为w。如果取AC vA /w ，则NC vAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。 vAA图形上点A的速度为vA，如图。在vA的垂线上取一点C (由vA

14、到AC 的转向与图形的转向一致)，有8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法平面图形内各点的速度及其分布根据上述定理，每一瞬时在图形内 都存在速度等于零的一点C，即vC=0， 选取点C为基点，则各点的速度为：CAwvAvBBDvD结论：平面图形内任一点的速度等于该点随 图形绕瞬心转动的速度。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线 ，指向图形转动的一方。 8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法CAwvAvB BDvDwC平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况， 与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似 。但是在不同的瞬时，速度瞬心在图形内的位 置不同。于是平面图形的运动可看成是绕速度瞬心的 瞬时转动。

15、图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心 的距离成正比。 注意：刚体作平面运动时，一般情况下在每 一瞬时，图形内必有一点成为速度瞬心；8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（纯 滚动）vC图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心 。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法(2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向wABw OCvAABvB速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上 。 (3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行，但 大小不等，并且速度的方向垂直于两点的连线 AB8.3 求平面图形

16、内各点速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点 连线的交点C上。 8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等w OvAABvB另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它 只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。图形的速度瞬心在无 限远处。(瞬时平动： 此时物体上各点速度 相同，但加速度不一 定相等) 8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法确定瞬心的一般方法：8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法提示1： 速度瞬心也是一个基点，每一个做平面运动的刚体都有它自己的速度瞬心，速度瞬心只是在此瞬时速度为零，其加速度并不为零，是一个特殊的基点，此点可能在实际图形内，也可能在实际图形外（此时可认为速度瞬心在图 形的扩展部分）。速度为零的基点。提示2：不同瞬时有不同的速度瞬心。不能把几个构件组成的系统放在一起找速度瞬心。速度瞬心是对一个刚体而言，不同的平面运动的刚体，其速度瞬心不同。提示3：速度瞬心的速度为