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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节二、直角坐标系下二重积分的计算法 三、极坐标系下二重积分的计算法 二重积分的计算第六章 一、二重积分的几何意义 四、曲线坐标下二重积分的计算法 1目录 上页 下页 返回 结束 求体积: 类似定积分解决问题的思想:2.1 二重积分的几何意义设 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以D的边界为准线 , 母线平 行于 z 轴的柱面.“分, 匀, 合, 精” （有界闭区域） 二重积分： 其几何意义就是曲顶柱体的体积 2目录 上页 下页 返回 结束 （2）已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积
2、(微元)元素为因此所求立体体积为上连续,3目录 上页 下页 返回 结束 曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作 （ X - 型区域 ）4目录 上页 下页 返回 结束 截面积为5目录 上页 下页 返回 结束 同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作 （ Y- 型区域 ）6目录 上页 下页 返回 结束 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X - 型区域 则若D为Y - 型区域则二、直角坐标系下二重积分的计算法7目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于8目录 上页 下页
3、返回 结束 说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干X - 型域或Y - 型域 , 则 9目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X - 型区域, 则解法2. 将D看作Y - 型区域, 则10目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 11目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域
4、. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X - 型域 :先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序 .12目录 上页 下页 返回 结束 例4. 交换下列积分顺序解: 积分域由两部分组成:视为Y - 型区域 , 则13目录 上页 下页 返回 结束 例5. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,14目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为15目录 上页 下页 返回 结束 三、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下, 用同心圆 r
5、=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为16目录 上页 下页 返回 结束 即注：此公式指的是积分区域用 极坐标表示。这就是极坐标变换，对自变量 作的变换：x= , y= 17目录 上页 下页 返回 结束 设则特别, 对18目录 上页 下页 返回 结束 此时若 f 1 则可求得D 的面积思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)19目录 上页 下页 返回 结束 例7. 计算其中解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角由于故坐标计算.20目录 上页 下页 返回 结束 注:
6、利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上, 故式成立 .又21目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设由对称性可知22目录 上页 下页 返回 结束 四、曲线坐标下二重积分的计算法在2.3段中我们看到，运用极坐标变换有时候可以使二重积分的计算简化特殊的坐标变换使用其它的坐标变换坐标变换下计算二重积分的方法，也就是二重积分的一般换元法但是，极坐标只是一种为了计算二重积分，有时候需要下面我们来介绍在一般形式的23目录 上页 下页 返回 结束 作变换若以下三个条件满足, 则称变换 (2.13) 为正则变换.24目录
7、 上页 下页 返回 结束 25目录 上页 下页 返回 结束 26目录 上页 下页 返回 结束 图6.2027目录 上页 下页 返回 结束 u 曲线族 和 v 曲线族 . 曲线坐标 . 28目录 上页 下页 返回 结束 29目录 上页 下页 返回 结束 30目录 上页 下页 返回 结束 31目录 上页 下页 返回 结束 32目录 上页 下页 返回 结束 例2.10 求解 四条直线交点的坐标分别为从上图中能看出, 都要分成三部分，比较麻烦. 图6.21 不论先对 x 还是先对 y 积分,积分区域所以可改用曲线坐标 . 33目录 上页 下页 返回 结束 图6.2234目录 上页 下页 返回 结束 35目录 上页 下页 返回 结束 值得一提：36目录 上页 下页 返回 结束 37目录 上页 下页 返回 结束 例2.11 计算解 由图6.23 可见, 图6.23如果我们用直角坐标直接计算在此变换下,38目录 上页 下页 返回 结束 图6.2339目录 上页 下页 返回 结束 40目录 上页 下页 返回 结束 例2.12 计算解 由于积分域是椭圆, 如果采用广义极坐标变换，即41目录 上页 下页 返回 结束 广义极坐标变换. 42
