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1、一、复习 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义 。（化为向量问题 ）（进行向量运算 ）（回到图形 ）xxz专题三： 利用向量解决 角与距离问题例题例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1C1D1ABCD图1解：如图1，设 化为
2、向量问题依据向量的加法法则， 进行向量运算所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长长都相等 ，并且以某一顶顶点为为端点的各棱间间的夹夹角 都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1 B1C1D1ABCD分析:分析: 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1 B1C1D1ABCDH分析：面面距离点面距离 解： 所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面A
3、BCD的距离？向量法求点到平面的距离：PA如图图，已知点P（x0,y0,z0）, 在平面 内任意取一点A（x1,y1,z1），一个法向量其中也就是AP在法向量n上的投影的绝对值例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平 面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求 点B到平面GEF的距离。DA BCGFExyz例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平 面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求 点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz问题： 请小结如何用向量的方法求空间中两点的距离？ 点到直线的距离？点面之间的距离？ 直线到直线的距离？abCDAB已知a,b是异面直
4、线，n为a的法向量CD为a,b的公垂线则A，B分别在直线a,b上练习:如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都 是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE ，计算DE的长。 OA BCDE图2二空间“距离”问题1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题转化为求向量模长问题二空间“距离”问题2. 点到面的距离 设n为平面 的一个法向量，AB是面 的一 条斜线，A为斜足。根据向量在轴上射影 的概念 ，点B到面 的距离等于向量 在n上的射影的长度，所以BAn二空间“距离”问题3. 异面直线间的距离 nCDC、D分别是 上任一
5、点，则 间的距离 可转化为向量 在n上的射影长，故设 为两异面直线，其公共法向量为 n,例2 如图，ABCD是矩形， 面ABCD， PD=DC= , AD= ，M、N分别是 AD,PB的中点，求点A到面MNC的距离 APDCBMN解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz则D(0,0,0)，A( ,0,0)，B( , ,0)，C(0, ,0)，P(0,0, )DMPNA xCBzy由于M,N分别是AD,PD的中点所以M( ,0,0)，N( , ， 设 为面MNC的一个法向量， 故 解得 ， 所以 且故可取 所以， 在 上的射影长即点A到面MNC的距离为 1. 已知正方体 的边长为2， O为
6、AC和BD的交点，M为 的中点（1） 求证： 直线 面MAC（2）求二面角 的余弦值三巩固练习B1A1C1D1DCBAOM2如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F 分别是AB,AD中点，GC 面ABCD,且GC2， 求点B到面EFG的距离DCAFBGE本节课我们主要介绍了空间“角”与“距离” 的向量解法。我们发现，引入“空间向量” 这一工具，能避免较为复杂的空间想象， 为立体几何代数化带来很大的方便。而且 ，我们还发现，在立几图形中合理建立空 间直角坐标系，使“空间向量”坐标化，是 解题的关键。事实上，它是完成从几何问 题向代数问题转化的基础。四小结例2：如图图3，甲站在水库库底面上的点A
7、处处，乙站在水坝坝斜面上的点B 处处。从A，B到直线线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， 化为向量问题 根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此AB C D图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为例2：如图图3，甲站在水库库底面上的点A处处，乙站在水坝坝斜面上的点B 处处。从A，B到直线线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考：（1）本题中如果夹角 可以测出，而
8、AB未知， 其他条件不变，可以计算出AB的长吗？AB C D图3分析： 可算出 AB 的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的 夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。A1 B1C1D1ABCD（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻 两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，EF在平面 AC
9、内作 CFAB 于 F。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。例1 正三棱柱 中，D是AC的 中点，当 时，求二面角 的余弦值。yxzCADBC1B1 A1EF解法一：如图，以C为原点建立空间 直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边 长为 ，侧棱长为b则 C(0,0,0)故由于 ，所以 yxzCADBC1B1 A1EF则可设 =1， ，则B(0,1,0) 作 于E, 于F， 则 即为二面角 的大小在 中， 即E分有向线段 的比为由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos = 即二面角 的余弦值为 解法二：同法一，以C为原点建立空间直 角坐标系 C-xyzyxzCADBC1B1 A1在坐标平面
10、yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0)可取 （1，0，0）为面 的法向量 由 得， 解得 所以，可取 二面角 的大小等于 cos = 方向朝面外， 方向朝面 内，属于“一进一出”的情况 ，二面角等于法向量夹角 即二面角 的余弦值为 练习：（1）如图4，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长。 B图4ACD（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，A1AB45，A1AC60，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。 ABCA1B1C1图5如图6，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 上的动点，且 。（1）求证： ；（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。OCBAOABCEF图6小结：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。作业：课本P121 第 2、6 题面面距离回归图形点面距离向量的模二面角平面角向量的夹角回归图形
