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1、 甲问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么 一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？乙火 车 2火 车 1火 车 3汽 车 1汽 车 23+2=5（种）分类计数原理分类计数原理又称“加法原理”完成一件事，有n类办法，在第1类办法中 有m1 种不同的方法，在第2类方法中有 m2 种 不同的方法，在第n类办法中有mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有Nm1 m2 mn种不同的方法关于分类计数原理的几点注记： 各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各 类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理； 分类时，首先要在问题的条件
2、之下确定一个分类标准，然后 在确定的分类标准下进行分类； 完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不 同两类的两种方法都是不同的不重不漏 火 车 2火 车 1火 车 3问题2 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地， 再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班 ，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少 种不同的走法？ 甲乙丙汽 车 2汽 车 1火车1汽车1 火车1汽车2 火车2汽车1火车2汽车2 火车3汽车1 火车3汽车2分步计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有 种 不同的方法，做第2步有 种不同的方法做第 步有 种不同的方法那么完成这件事共有 N 种不同的方法分步
3、计数原理又叫作“乘法原理”关于分步计数原理的几点注记各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数 相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后 在确定的分步标准下分步； 完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个 步骤 分类计数原理与分步计数原理的区别 分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关 做一件事的不同方法总数的问题区别在于：分 类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法 相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事 ；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤 中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做 完这件事例题例1 书架的
4、第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不 同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种 取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书, 有多少种不同的取法?注意区别“分类”与“分步”解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3 种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有4+3+2=9种取法。答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。(2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1 步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种 取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,
5、 共有432=24种取法。答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取 法。分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步例2 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共 10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?本题的特点是数字可以重复使用，例如0000， 1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每 一步的方法数 m=10，有n=4个步骤,结果是总个数N=10101010=104 解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个 拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨 号盘上各取1数字组成的个数是 答：可以组成10000个四位数字号码。N=10
6、4 。 一般的，完成一件事有n个步骤，每一步骤的方法 数相同，都是m, 则完成这件事共有 种不同方法 。 （牢记：步骤数n是指数！）mn3. 四名研究生各从A、B、 C三位教授中选一位 作自己的导师，共有_种选法；三名教授 各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有 _种选法。2. 在120共20个整数中取两个数相加,使其 和为偶数的不同取法共有多少种?答.：(109+109)/2=90（种）.43 1. 某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口,问从 1楼到5楼共有多少种不同的走法?答： 3333=34=81（种）练 习34 例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上日班和晚班，有多少种不同的
7、 选法？解：从3名工人中选出2名分别上日班和晚班 ，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名 上晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共 有3种选法；上日班的工人选定后再选1名上 晚班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计 数原理,所求的不同的选法数是 答：有6种不同的选法。日班 晚班甲乙 丙丙乙甲乙甲丙相应的排法不同排法如下图所示甲 乙 甲 丙 乙 甲 乙 丙 丙 甲 丙 乙日班 晚班练 习P86 练习 2、3、4、5例4 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（ 各位上的数字许重复）？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个 数字，共有5种
8、选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这 仍有5种选法； 第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。 根据分步计数原理，得到组成的三位数的个数是：N = 5 5 5 = 53 = 125答：可以组成125个三位数。例5 :满足 AB=1,2的集合A ,B共有多少种?解析: 法一A, B均是1,2的子集:,1,2,1,2,但 不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含A B的 两元不定方程,其全部解分为四类:1. 当A=时,只有B=1,2得1组解;2. 当A=1时,B=2或1,2,得2组解;3. 当A=2时,B=1或1,2,得2组解;备选例题4. 当A=1,2时,B=或1或2或1,2,
9、得4组解 由加法原理,共有1+2+2+4=9组解法2: 设A,B为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入 ,任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事:第 1步装“1”,可装入A不装入B,也可装入B不装入A,还 可既装入A又装入B,有3种装法;第2步装“2”,同样有3种装法.由乘法原理,共有3 3=9 种装法1 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种 方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展开后共有项？ 4 + 5 =
10、 9 练习2： 1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数 是( ) A. 12 B.64 C.81 D.72、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 （ ）种A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对练习1：CA总结：分类计数原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一 类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法 ， ，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共 有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法。分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第 一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， ，做 第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有N= m1 m2 mn 种不同的方法。 分类计数原理和分步计数原理的共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类 完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可，就 用分步计数原理。
