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1、13.2 信号带宽为了论述带宽,首先定义解析信号的自相关函数和 功率谱密度.假设 为实平稳的随机过程,其功率 谱密度为 .特别地, 假设 有平坦的带限功率 谱密度,其带宽为 ,高度为 ,如图3.6所示. 3.2.1 解析信号的功率计算图3.6 功率谱密度2的自相关函数 为 的反傅立叶变换:(3.40 )的平均功率可按下式计算:(3.42 )(3.41 )或是现在考虑与 有关的解析信号 :(3.43 )3定义 的自相关函数为:函数 与 的关系如下:(3.45 )(3.44 )利用希尔伯特变换关系,可得:(3.46 ) 再利用另一个希尔伯特变换关系 ,可得:(3.48 )4定义 的功率密度为:(3
2、.49 )与 的关系如下:(3.50)因而具有图3.6所示的功率谱密度 的实信号 相应 于具有图3.7所示的功率谱密度 的解析信号 .图3.7 功率谱密度因为:(3.51) 故有:(3.52)5所以, 的功率为:(3.53)但是 是实数,因此有:(3.54)最后,如果 是出于图2.7中的正交混合器的同相通道 电压,那么正交混合器的输入电压将为 .因此混合 器的总输入噪音功率将为式(3.54)的二倍.图2.7 处理一个阵元的正交混合器所以,总的阵元功率为:(3.55)6设入射信号在阵元1和阵元2上 产生的信号分别为 和 , 则需要信号矢量为：(3.60)其中 为阵元间的 传播时间延迟。3.2.2
3、 非零宽带信号的阵列分析在自适应阵接受非零带宽信号时，需要信号的带宽对特 性影响不大，但干扰信号带宽的影响很大。 阵元间延时不同，阵元信号不再完全相关； 在信号带宽范围内完全匹配各阵元后的频率响应很困难， 任何通道失配将进一步使阵元去相关。图2.15 具有需要信号和干扰的二元阵传播延迟7设需要信号具有如右图所示的功率 谱密度，在 带宽内具有 的功率谱密度。设 为平稳随即过程，并定义其自相关函数为：协方差矩阵 中的需要信号部分为：(3.61)(3.62)则协方差矩阵 可以写作： (3.63)8其中 为相对带宽： 由(3.55)可知 为阵元的总的需要信号功率。由(3.64)还可得：由于：(3.64
4、)(3.65)故有： (3.66)正好为载频上阵元间的相移，用 表示为： 据此可以将式(3.66)中的相关量写为： (3.67)(3.68)(3.69)9假设 ，则式(3.70) 变为：假设需要信号为连续波，且 ，从上述的结果可以看出 将信号看作窄带的必要条件是 足够小。对于阵元 间距为半波长的N元阵，窄带条件为：将式(3.68) 代入式(3.63)得到 ：(3.70)(3.71)其中： (3.72)10代入式(3.64)中的 ，并利用(3.67) 和(3.68) 可以得到： 对于(3.75)给出的参考信号，其参考相关矢量为：(3.75)假设阵元1和2的需要信号输出分别为 ， 故假设 (3.7
5、6)(3.77)参考相关矢量11定义 的自相关函数为： 其中 为在阵元间的延迟：(3.78)(3.80)由此可以写出干扰对协方差矩阵的贡献：(3.81)(3.82)干扰信号干扰信号矢量为： 12与前面一样，定义干扰在中心频率处阵元间的相移和相 对带宽分别为：假设干扰具有与图3.8 类似的平坦带限功率谱密度则 的自相关函数为：(3.84)(3.85)由此式(3.81)可以写为： (3.89)(3.86)13噪音矢量为：当 时， 逼近矩阵：(3.90)(3.91)其中： (3.92)热噪音其对协方差矩阵的贡献为： (3.93)14将式(3.94)中的协方差矩阵和式(3.77)中的参考相关矢量用 规
6、一化后，可以得到加权矢量的计算式： 阵输出的需要信号分量为：综合式(3.70),(3.89),和(3.93)得到总的协方差矩阵为：(3.94)(3.97)(3.98)输出信号功率下面由该需要信号分量计算需要信号的功率：15用同样方法可以得到规一化的输出干扰功率和热噪音功率 ： (3.100)(3.101)以 对式(3.100)进行规一化得：(3.102)16因带宽 出现在因子 中，故 越大， 将会有更大影 响。图3.10绘出了 和 时信号干扰噪音比与输 入信噪的关系曲线，可以看出，带宽引起的特性恶化只出 现在 和信号干扰噪音比大的情况。 结论：需要信号带宽引起的性能恶化影响很小。(3.103)
7、最后可以得到输出的信号干扰噪音比为：(3.104)3.2.3 空间延迟引起的带宽性能恶化无干扰情况17图3.11表示对： 和 的典型情况绘出的一 系列曲线。 从图3.11(a)可以看出，阵对干扰 的带宽比对需要信号的带宽更灵 敏。 图3.11(c)说明只要干扰带宽有一点 小的变化就会引起输出干扰功率 数量级的变化。 从图3.11(b) 和3.11(d)可以看出， 对于小的 ，Pd和Pn都随Bi的增加 而下降。原因：只要输出的干扰 功率增加，为了保持小的均方误 差信号，就迫使阵的反馈降低加 权。图3.10需要信号带宽的影响（无干扰）有干扰情况18 图3.11干扰信号带宽的影响(a)(b)(c)(
8、d)19图3.12表示了信号干扰噪音比与 的关系，该图说明干扰信号越强 ，随带宽性能恶化越严重。 图3.123.2.4 带宽性能恶化的原因干扰信号带宽对自适应阵性能影 响更大的原因：需要信号在阵的 输出端相加，干扰信号在阵的输 出端相减，因此对于干扰信号的 任何差别都很敏感。现研究图3.13所示的阵，该阵被干扰信号视作滤波器。该滤波器 的传输函数为：(3.105)20为了对消干扰，选择适当的w1和 w2， 使传输函数在中心频率上为 零： 图3.13 阵被干扰当成滤波器因此，w1和w2满足：(3.106)(3.107)故传输函数可以写为：(3.108) 传输干扰频谱如图3.15所示。传输干扰功率
9、为：(3.110)当 时， 急剧上升。因此：干扰带宽增加时，输出干扰 功率迅速增大。21 时域理解：干扰信号到达两不同阵元的时间各不相同， 引起了干扰信号轻微的去相关，该特点表现在 的非 对角元素比对角元素小。在物理上此种去相关表现为不 同阵元上干扰信号不相等，而且不能完全对消，因此干 扰带宽越宽，两阵元信号的差别就越大，相减之后的剩 余也越大。3.2.5 通道失配引起的带宽恶化 在不同阵元后面匹配频率响应困难； 两阵元通道频率响应之间的任何差别都将降低两通道上 干扰间的相关，从而限制实现信号相减的能力； 实际中，精确地匹配两阵元通道很困难，同轴线长度， 接头阻抗失配，杂散电容，放大器通带特性
10、变化等因素 限制了阵的宽带特性；22图3.16 含通道失配滤波器的二元阵研究图3.16所示二元阵 。：通道失配效应等 效滤波器的传递函 数。- (3.111) (3.112)23(3.115)计算 和 ：定义：(3.116)若i=j，R为自相关函数；若ij，R为互相关函数。定义：(3.117)若i=j，S为功率谱密度；若ij，R为交叉谱密度。- (3.118)24(3.119)(3.120)若 与 相同，则 与 将完全相同， 干扰信号将被完全对消；反之，则对消性能恶化。25同样求出： 26(3.145)27定义波动的周期数为：(3.153)同样可得出相关向量：(3.160)28(3.161)(
11、3.164)算例：考察对于不同的通道间失配幅度 E 对SINR的影响。2930 数值计算表明：若要SINR的恶化小于1dB，则通带内 的波动小于 ，或通道的匹配精度优于0.086dB； 若干扰功率更高，结果将更坏。若 ，则为使 SINR的恶化小于1dB，通道的匹配精度小于0.0026dB；u概括：干扰信号的带宽对自适应阵的影响比需要信号带 宽的影响更大的原因： 需要信号在阵的输出端相加，干扰信号在阵的输出端相减 ，对消结果对干扰信号的任何差别都是非常敏感的； 非零带宽的干扰信号，在阵元间的传播延迟存在时使阵元 之间变为去相关； 通道特性中任何的失配也可能减小阵元间的干扰相关； 干扰信号带宽越宽
12、，各阵元信号的差别就越大，在输出端 就越不容易对消。 31对于从 角入射的干扰信号，阵元间的相移为：3.2.6 抽头延迟线的利用(3.165)该相移 是频率的函数，在干扰带宽内，其值是变化的。若 希望阵的输出中在 处产生零点，则要求阵元后面的处理必 须也能提供一个随频率变化的相移，此时要求：(3.166)然而，单个复加权 的传输函数不随频率变化：(3.167)设在每个阵元后面都采用抽头延迟线，如图3.20所示。改善信号带宽对自适应阵影响的途径之一：采用抽头延迟线32考察图3.21中具有抽头延迟线的二元 自适应阵，每个阵元后面有K个抽头 ，抽头间的延迟为T0 秒。通过选取适当的加权可使 在带 宽范围内近似补偿 的变化。令 为阵元m后面k个抽头处的信号和加权的列矢量：该抽头延迟线具有如下形式的传输 函数：(3.169)(3.168)图3.20 抽头延迟线处理(3.170)33整个阵的总的信号矢量 和加权矢量 为：(3.171)图3.21 具有抽头延迟线的 二元自适应阵(3.172)34任意抽头处的需要信号：需要信号对协方差矩阵的贡献：同理可求出干扰与噪音对协方差矩阵的贡献 。35算例： (r: 抽头间 /4延迟数）无延迟线
