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1、13.2 信号带宽为了论述带宽,首先定义解析信号的自相关函数和 功率谱密度.假设 为实平稳的随机过程,其功率 谱密度为 .特别地, 假设 有平坦的带限功率 谱密度,其带宽为 ,高度为 ,如图3.6所示. 3.2.1 解析信号的功率计算图3.6 功率谱密度2的自相关函数 为 的反傅立叶变换:(3.40 )的平均功率可按下式计算:(3.42 )(3.41 )或是现在考虑与 有关的解析信号 :(3.43 )3定义 的自相关函数为:函数 与 的关系如下:(3.45 )(3.44 )利用希尔伯特变换关系,可得:(3.46 ) 再利用另一个希尔伯特变换关系 ,可得:(3.48 )4定义 的功率密度为:(3
2、.49 )与 的关系如下:(3.50)因而具有图3.6所示的功率谱密度 的实信号 相应 于具有图3.7所示的功率谱密度 的解析信号 .图3.7 功率谱密度因为:(3.51) 故有:(3.52)5所以, 的功率为:(3.53)但是 是实数,因此有:(3.54)最后,如果 是出于图2.7中的正交混合器的同相通道 电压,那么正交混合器的输入电压将为 .因此混合 器的总输入噪音功率将为式(3.54)的二倍.图2.7 处理一个阵元的正交混合器所以,总的阵元功率为:(3.55)6设入射信号在阵元1和阵元2上 产生的信号分别为 和 , 则需要信号矢量为:(3.60)其中 为阵元间的 传播时间延迟。3.2.2
3、 非零宽带信号的阵列分析在自适应阵接受非零带宽信号时,需要信号的带宽对特 性影响不大,但干扰信号带宽的影响很大。 阵元间延时不同,阵元信号不再完全相关; 在信号带宽范围内完全匹配各阵元后的频率响应很困难, 任何通道失配将进一步使阵元去相关。图2.15 具有需要信号和干扰的二元阵传播延迟7设需要信号具有如右图所示的功率 谱密度,在 带宽内具有 的功率谱密度。设 为平稳随即过程,并定义其自相关函数为:协方差矩阵 中的需要信号部分为:(3.61)(3.62)则协方差矩阵 可以写作: (3.63)8其中 为相对带宽: 由(3.55)可知 为阵元的总的需要信号功率。由(3.64)还可得:由于:(3.64
4、)(3.65)故有: (3.66)正好为载频上阵元间的相移,用 表示为: 据此可以将式(3.66)中的相关量写为: (3.67)(3.68)(3.69)9假设 ,则式(3.70) 变为:假设需要信号为连续波,且 ,从上述的结果可以看出 将信号看作窄带的必要条件是 足够小。对于阵元 间距为半波长的N元阵,窄带条件为:将式(3.68) 代入式(3.63)得到 :(3.70)(3.71)其中: (3.72)10代入式(3.64)中的 ,并利用(3.67) 和(3.68) 可以得到: 对于(3.75)给出的参考信号,其参考相关矢量为:(3.75)假设阵元1和2的需要信号输出分别为 , 故假设 (3.7
5、6)(3.77)参考相关矢量11定义 的自相关函数为: 其中 为在阵元间的延迟:(3.78)(3.80)由此可以写出干扰对协方差矩阵的贡献:(3.81)(3.82)干扰信号干扰信号矢量为: 12与前面一样,定义干扰在中心频率处阵元间的相移和相 对带宽分别为:假设干扰具有与图3.8 类似的平坦带限功率谱密度则 的自相关函数为:(3.84)(3.85)由此式(3.81)可以写为: (3.89)(3.86)13噪音矢量为:当 时, 逼近矩阵:(3.90)(3.91)其中: (3.92)热噪音其对协方差矩阵的贡献为: (3.93)14将式(3.94)中的协方差矩阵和式(3.77)中的参考相关矢量用 规
6、一化后,可以得到加权矢量的计算式: 阵输出的需要信号分量为:综合式(3.70),(3.89),和(3.93)得到总的协方差矩阵为:(3.94)(3.97)(3.98)输出信号功率下面由该需要信号分量计算需要信号的功率:15用同样方法可以得到规一化的输出干扰功率和热噪音功率 : (3.100)(3.101)以 对式(3.100)进行规一化得:(3.102)16因带宽 出现在因子 中,故 越大, 将会有更大影 响。图3.10绘出了 和 时信号干扰噪音比与输 入信噪的关系曲线,可以看出,带宽引起的特性恶化只出 现在 和信号干扰噪音比大的情况。 结论:需要信号带宽引起的性能恶化影响很小。(3.103)
7、最后可以得到输出的信号干扰噪音比为:(3.104)3.2.3 空间延迟引起的带宽性能恶化无干扰情况17图3.11表示对: 和 的典型情况绘出的一 系列曲线。 从图3.11(a)可以看出,阵对干扰 的带宽比对需要信号的带宽更灵 敏。 图3.11(c)说明只要干扰带宽有一点 小的变化就会引起输出干扰功率 数量级的变化。 从图3.11(b) 和3.11(d)可以看出, 对于小的 ,Pd和Pn都随Bi的增加 而下降。原因:只要输出的干扰 功率增加,为了保持小的均方误 差信号,就迫使阵的反馈降低加 权。图3.10需要信号带宽的影响(无干扰)有干扰情况18 图3.11干扰信号带宽的影响(a)(b)(c)(
8、d)19图3.12表示了信号干扰噪音比与 的关系,该图说明干扰信号越强 ,随带宽性能恶化越严重。 图3.123.2.4 带宽性能恶化的原因干扰信号带宽对自适应阵性能影 响更大的原因:需要信号在阵的 输出端相加,干扰信号在阵的输 出端相减,因此对于干扰信号的 任何差别都很敏感。现研究图3.13所示的阵,该阵被干扰信号视作滤波器。该滤波器 的传输函数为:(3.105)20为了对消干扰,选择适当的w1和 w2, 使传输函数在中心频率上为 零: 图3.13 阵被干扰当成滤波器因此,w1和w2满足:(3.106)(3.107)故传输函数可以写为:(3.108) 传输干扰频谱如图3.15所示。传输干扰功率
9、为:(3.110)当 时, 急剧上升。因此:干扰带宽增加时,输出干扰 功率迅速增大。21 时域理解:干扰信号到达两不同阵元的时间各不相同, 引起了干扰信号轻微的去相关,该特点表现在 的非 对角元素比对角元素小。在物理上此种去相关表现为不 同阵元上干扰信号不相等,而且不能完全对消,因此干 扰带宽越宽,两阵元信号的差别就越大,相减之后的剩 余也越大。3.2.5 通道失配引起的带宽恶化 在不同阵元后面匹配频率响应困难; 两阵元通道频率响应之间的任何差别都将降低两通道上 干扰间的相关,从而限制实现信号相减的能力; 实际中,精确地匹配两阵元通道很困难,同轴线长度, 接头阻抗失配,杂散电容,放大器通带特性
10、变化等因素 限制了阵的宽带特性;22图3.16 含通道失配滤波器的二元阵研究图3.16所示二元阵 。:通道失配效应等 效滤波器的传递函 数。- (3.111) (3.112)23(3.115)计算 和 :定义:(3.116)若i=j,R为自相关函数;若ij,R为互相关函数。定义:(3.117)若i=j,S为功率谱密度;若ij,R为交叉谱密度。- (3.118)24(3.119)(3.120)若 与 相同,则 与 将完全相同, 干扰信号将被完全对消;反之,则对消性能恶化。25同样求出: 26(3.145)27定义波动的周期数为:(3.153)同样可得出相关向量:(3.160)28(3.161)(
11、3.164)算例:考察对于不同的通道间失配幅度 E 对SINR的影响。2930 数值计算表明:若要SINR的恶化小于1dB,则通带内 的波动小于 ,或通道的匹配精度优于0.086dB; 若干扰功率更高,结果将更坏。若 ,则为使 SINR的恶化小于1dB,通道的匹配精度小于0.0026dB;u概括:干扰信号的带宽对自适应阵的影响比需要信号带 宽的影响更大的原因: 需要信号在阵的输出端相加,干扰信号在阵的输出端相减 ,对消结果对干扰信号的任何差别都是非常敏感的; 非零带宽的干扰信号,在阵元间的传播延迟存在时使阵元 之间变为去相关; 通道特性中任何的失配也可能减小阵元间的干扰相关; 干扰信号带宽越宽
12、,各阵元信号的差别就越大,在输出端 就越不容易对消。 31对于从 角入射的干扰信号,阵元间的相移为:3.2.6 抽头延迟线的利用(3.165)该相移 是频率的函数,在干扰带宽内,其值是变化的。若 希望阵的输出中在 处产生零点,则要求阵元后面的处理必 须也能提供一个随频率变化的相移,此时要求:(3.166)然而,单个复加权 的传输函数不随频率变化:(3.167)设在每个阵元后面都采用抽头延迟线,如图3.20所示。改善信号带宽对自适应阵影响的途径之一:采用抽头延迟线32考察图3.21中具有抽头延迟线的二元 自适应阵,每个阵元后面有K个抽头 ,抽头间的延迟为T0 秒。通过选取适当的加权可使 在带 宽范围内近似补偿 的变化。令 为阵元m后面k个抽头处的信号和加权的列矢量:该抽头延迟线具有如下形式的传输 函数:(3.169)(3.168)图3.20 抽头延迟线处理(3.170)33整个阵的总的信号矢量 和加权矢量 为:(3.171)图3.21 具有抽头延迟线的 二元自适应阵(3.172)34任意抽头处的需要信号:需要信号对协方差矩阵的贡献:同理可求出干扰与噪音对协方差矩阵的贡献 。35算例: (r: 抽头间 /4延迟数)无延迟线