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1、塑性力学第一章 简单应力状态下的弹塑性力学问题 1.1 引言 1.2 材料在简单拉压时的实验结果 1.3 应力-应变关系 简化模型 1.4 轴向拉伸时的塑性失稳 1.5 简单桁架的弹塑性分析 1.6 强化效应的影响 1.7 几何非线性的影响 1.8 弹性极限曲线 1.9 加载路径的影响 1.10 极限载荷曲线（面） 1.11 安定问题1.1 引言一、变形一、变形弹性变形：弹性变形：物质微元的应力和应变之间具有单一的物质微元的应力和应变之间具有单一的对应关系对应关系 非弹性变形：非弹性变形：应力和应变之间不具有单一的对应关系应力和应变之间不具有单一的对应关系 非弹性变形非弹性变形塑性变形塑性变形
2、粘性变形粘性变形（是指物体在除去外力后所残留下（是指物体在除去外力后所残留下的永久变形）的永久变形）（随时间而改变，如蠕变、应力松（随时间而改变，如蠕变、应力松弛等）弛等）二、塑性与脆性二、塑性与脆性如果变形很小就破坏，便称是如果变形很小就破坏，便称是脆性脆性如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便 称是称是塑性塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久。在这种情况下，物体从开始出现永久 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。变形到最终破坏之间仍具有承载能力。采用弹性理论分
3、析采用弹性理论分析采用塑性力学分析采用塑性力学分析n研究在哪些条件下可以允许结构中某些 部位的应力超过弹性极限的范围，以充分 发挥材料的强度潜力 n研究物体在不可避免地产生某些塑性变 形后，对承载能力和（或）抵抗变形能力 的影响 n研究好何利用材料的塑性性质以达到加 工成形的目的 三、塑性力学目的三、塑性力学目的塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研究时仍采 用连续介质力学中的假设和基本方法。四、塑性力学的方法四、塑性力学的方法基本方程基本方程: :几何关系几何关系 守恒定律守恒定律 本构方程本构方程1.2 材料在简单拉压时的实验结果n材料：金属多晶材料n受力：单向拉伸或压缩实验n(名义)应力
4、：=P/A0n(名义)应变：=（-0）/0 一、实验描述一、实验描述二、实验曲线二、实验曲线n线弹性阶段 n非线性弹性阶段n屈服阶段n强化阶段n颈缩阶段实验曲线加载过程实验曲线加载过程实验曲线卸载过程实验曲线卸载过程n n弹性阶段：卸载沿原路返回弹性阶段：卸载沿原路返回n n塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性 阶段相同阶段相同n n应变强化：应变强化：三、两种现象三、两种现象n n包氏效应：包氏效应：实验曲线反向加载：实验曲线反向加载： 单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高( (图图2 2（a a ）中的中的MM
5、点点) ) 多晶体，其压缩屈服应力（多晶体，其压缩屈服应力（MM点）一般要低于一开始就点）一般要低于一开始就 反向加载时的屈服应力（反向加载时的屈服应力（AA点）。这种由于拉伸时强化点）。这种由于拉伸时强化 影响到压缩时弱化的现象称为影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应包氏效应（BauschingerBauschinger effecteffect）。）。 材料经过塑性变形得到强化材料经过塑性变形得到强化图图2 2（a a）1、在材料的弹塑性变形过程中，应力与应变之间已不再 具有单一的对应关系。四、实验总结四、实验总结 加载路径加载路径与与之间的关系依赖于加载路径之间的关系依赖于加载路径 内变量
6、内变量宏观参量，用来刻画加载历史宏观参量，用来刻画加载历史例如，作为最简单的近似，可以取内变量例如，作为最简单的近似，可以取内变量为塑性应为塑性应 变变p p，而将简单受拉（压）时的应力应变关系写为而将简单受拉（压）时的应力应变关系写为=/E+ =/E+p p（1 1）其中其中E E为杨氏模量为杨氏模量 上式表明，当上式表明，当P P（内变量）一定时，内变量）一定时，与与之间有单一的对应关系。之间有单一的对应关系。2. 与之间的线性关系 =/E+p （1）式是有适用范围的。对于固定的内变量P，或 并不能随意取值。例如，对处于图例如，对处于图2 2（a a）中的中的M M点，当加点，当加 载时即
7、应力（或应变）继续增长时，载时即应力（或应变）继续增长时， 应力应变曲线将沿应力应变曲线将沿AMMAMM1 1方向延伸，公方向延伸，公 当卸载时即应力（或应变）减小时应当卸载时即应力（或应变）减小时应 力应变曲线才以（力应变曲线才以（1 1）式的规律沿）式的规律沿MNMN 向下降。为了区分以上这种加载和卸向下降。为了区分以上这种加载和卸 载所具有的不同规律，就必须给出相载所具有的不同规律，就必须给出相 应的应的加卸载准则加卸载准则。 图图2 2（a a）五、影响材料性质的其它几个因素五、影响材料性质的其它几个因素1 1、温度温度 当温度上升时，材料的屈服应力将会当温度上升时，材料的屈服应力将会
8、降低而塑性变形的能力则有所提高。降低而塑性变形的能力则有所提高。 3 3静水压力静水压力 当静水压力不太大时，材料体积的变当静水压力不太大时，材料体积的变 化服从弹性规律而不产生永久的塑性体积改变。化服从弹性规律而不产生永久的塑性体积改变。2 2、应变速率应变速率 如果实验时将加载速度提高几个数量如果实验时将加载速度提高几个数量 级，则屈服应力也会相应地提高，但材料的塑性应级，则屈服应力也会相应地提高，但材料的塑性应 变形能力会有所下降。变形能力会有所下降。 当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小），当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 可近似地认为体积是不可压的。可近似地认
9、为体积是不可压的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。静水压力对屈服应力的影响也是不大的。 1.3 应力-应变关系关系的简化模型类似地，上式也可用应变表示为：1 1理想理想弹弹弹弹塑性模型塑性模型适用：强化率较低的材料，在应变不太大时可忽略强化效应2 2线线线线性性强强化化弹弹弹弹塑性模型塑性模型类似地，上式也可用应变表示为：适用：材料的强化率较高且在一定范围 内变化不大（假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同）表示图5（a）中的 线段比 3 3一般加一般加载规载规载规载规 律律对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系：注：这种模型在 =0处的斜率为 无穷大，近似性较差，但在
10、数学 上比较容易处理。（8）4 4幂幂幂幂次次强强化模型化模型（其中B0，0PP Pe e时时时时，有，有将上式与（将上式与（1515）式和（）式和（1616）式联立，可解得）式联立，可解得（3 3）当）当P P增至使增至使 时，第时，第1 1杆和第杆和第3 3杆也开始屈服。杆也开始屈服。此时的载荷值为此时的载荷值为1 1、如取、如取E/E=1/10E/E=1/10，则则P P1 1=1.04P=1.04Ps s。与理想弹塑性材料相比，与理想弹塑性材料相比， 相应的载荷值并没有很大的增加。这说明采用理想弹塑相应的载荷值并没有很大的增加。这说明采用理想弹塑 性模型可得到较好的近似，而计算却有相当
11、的简化。性模型可得到较好的近似，而计算却有相当的简化。 说明：说明：2 2、当、当P P小于小于P P1 1时，结构的变形仍属于弹性变形的量级，而时，结构的变形仍属于弹性变形的量级，而 当当P P超过超过P P1 1后继续增加时，由于强化效应，结构并不会进入后继续增加时，由于强化效应，结构并不会进入 塑性流动状态，但这时的变形将会有较快的增长。塑性流动状态，但这时的变形将会有较快的增长。1.7 几何非线性的影响 一、一、问题问题问题问题 的提出的提出求解基本方程：求解基本方程：是在小变形的假设是在小变形的假设 下建立的下建立的当杆件的塑性变形很大时，结构几何尺寸的改变将会产 生显著的影响。这时
12、应采用真应力和对数应变来进行讨 论。二、二、问题问题问题问题 的解答的解答仍考虑Q=0的情形，假定材料是刚塑性线性强化的：而且满足不可压条件：而且满足不可压条件：令令则则由几何分析由几何分析于是于是在变形后的结构上建立的平衡方程为：在变形后的结构上建立的平衡方程为：其中其中为变形后第为变形后第2 2杆与第杆与第1 1杆（和第杆（和第3 3杆）之间的夹角杆）之间的夹角可见（可见（3333）式中有三个未知量）式中有三个未知量在不卸载的情况下，由本构方程：在不卸载的情况下，由本构方程：得到得到 与与 之间的非线性关系之间的非线性关系结论：结论：随着随着 的增长，的增长， 的值将会由于强化效应和的值将
13、会由于强化效应和 角的减小而提高，角的减小而提高， 但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能很大时，结构将可能 变成不稳定的。变成不稳定的。1.8 弹性极限曲线本节我们将考虑前述桁架同时受垂直载荷本节我们将考虑前述桁架同时受垂直载荷P P和水平载荷和水平载荷Q Q作用的情形。作用的情形。l l如果桁架中的三根杆件都处于弹性阶段，则由（如果桁架中的三根杆件都处于弹性阶段，则由（1313） (14(14）1515）和（）和（1717）各式，）各式，平衡方程平衡方程几何方程几何方程协调协调协调协调 条件条件本构方程本构方程其中其中 ，表示只作用
14、水平力时的弹性极限载荷。，表示只作用水平力时的弹性极限载荷。可求得杆中应力为可求得杆中应力为（3535）式成立的条件为）式成立的条件为这相当于对这相当于对P P和和QQ的限制条件：的限制条件：上式对应于图上式对应于图1212中实线六边中实线六边 形区域，其中等号则对应于形区域，其中等号则对应于 该六边形的边界，称为该六边形的边界，称为弹性弹性 极限曲线极限曲线，表示至少有一根，表示至少有一根 杆件已达到屈服状态。杆件已达到屈服状态。l l如果作用于结构上的载荷先是超出了弹性极限曲线，然后如果作用于结构上的载荷先是超出了弹性极限曲线，然后 又完全卸回到零，那么结构中将存在残余应力。又完全卸回到零
15、，那么结构中将存在残余应力。由于残余应力与零外载相平衡，故可写成（由于残余应力与零外载相平衡，故可写成（2727）式的形式：）式的形式：其中其中 是一个可以变化的参数，其值可由（是一个可以变化的参数，其值可由（2828）式来表示。）式来表示。l l在存在残余应力的情况下，如果再重新对结构施加载荷而在存在残余应力的情况下，如果再重新对结构施加载荷而 未能再次屈服，那么结构中的应力值就应该是以上的残余应未能再次屈服，那么结构中的应力值就应该是以上的残余应 力与（力与（3535）式的叠加。）式的叠加。 不产生新的塑性变形的限制条件：不产生新的塑性变形的限制条件：其中其中 值满足值满足（3737）式对应于图）式对应于图1212中虚线所构成中虚线所构成 的六边形区域。的六边形区域。说明：说明： 可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反 的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应 等现象做一个比较形象的解释。等现象做一个比较形象的解释。1.9 加载路径的影响塑性力学的特点之一就是塑性力学的特点之一就是解解对对加载路径加载路径的依赖性。的依赖性。 例例 计算上述的理想弹塑性三杆桁架在不同加载路径下计算上述的理想弹塑性三杆桁架在不同
