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1、第三章函数逼近与FFT计算方法 有理逼近、三角函数逼近与FFT1本节内容n 有理函数逼近l 有理逼近与连分式l Pade 逼近n 三角函数逼近l 最佳平方逼近l 最小二乘l FFT（快速 Fourier 变换）2有理逼近用有理函数来做函数逼近有理逼近若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近可 能会取得较好的逼近效果3举例例：Taylor 展开连分式ex35.m4Pade 逼近设 f (x) 的Taylor 展开为部分和记为Pade 逼近设 f (x) CN+1(-a, a), N=m+n, 若有理函数其中 Pn(x) 与 Qm(x) 无公因式，且满足则称 Rnm(x) 为 f(x) 在 x=0
2、 处的 (n, m) 阶 Pade 逼近k = 0, 1, , N5三角多项式逼近l 在 0, 2 上带权 (x)=1 的正交三角函数族：1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近三角多项式逼近l 设 f (x) 是以 2 为周期的平方可积函数，则可利 用上面的三角函数族对其进行数值逼近。6最佳平方三角逼近l f (x) 以 2 为周期且平方可积，则其在 0, 2 上 的最佳平方三角逼近为q 最佳平方三角逼近( k = 0, 1, , n-1 )( k = 1, 2, , n-1 )其中当 n 趋于无穷大时，Sn(x) 即为 f(x) 的 F
3、ourier 展开7三角多项式逼近结论若 f (x) 在 0, 2 上分段连续，则8最小二乘若只给出离散数据 ( xj, yj )，其中则可类似地得到 f(x) 离散 Fourier 逼近 (假定 N=2m+1)( k = 0, 1, , n-1 )( k = 1, 2, , n-1 )其中n m9三角插值三角插值当 n=m 时可以证明故 Sn(x) 为 f(x) 在点集 x0, x1, , xm 上的三角插值( j = 0, 1, , 2m )10DFTl 考虑在 0, 2 上带权 (x)=1 的正交三角函数族 ：这里的 i 是虚部单位则 在 处的函数值为离散正交 11DFT则 f(x) 的最小二乘 Fourier 逼近为 (n m)( k = 0, 1, , n-1 )其中l 设 f (x) 以 2 为周期的复函数，给定函数值 ( xj, yj )，其中离散 Fourier 变换l 当 n=N 时，Sn(x) 即为 f(x) 在 x0, x1, , xn-1 上的插值函数( j = 0, 1, , N-1 )离散 Fourier 逆变换12DFT令构造矩阵性质 (1)性质 (2)13DFT/FFTDFT 与 IDFTc=fft(y)/Ny=ifft(c)*Nex36.m14
