线性系统理论-5b

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1、第五章 线性系统的 能控性和能观测性 能控性: 输出: y； 输入: is 回路的模式（模型）：e-t可由is控制； 回路的模式（模型）：e-2t不能被is控制。 若 UC2(t0)=0，tt0，回路的模式e-2t不能被激励；若 UC2(t0)0，tt0，模式为e-2t，但输入is也无法控制它的变化。 回路的模式e-t，由输出y上观测不到，y 能观测的仅仅是回路的模式e-2t；回路的模式e-t，可由 is 控制可控；不能由y观测不能观测。回路的模式e-2t, 不能由is控制不能控；可由 y 观测能观测。 5-1 引言 控制作用对控制系统影响的可能性。 能观测性: 由系统的输出量确定系统状态的可

2、能性。 引例1 如图所示： _+R3 2y C1 1FR1 1C2 0.5FR2 1x1、x2 都是由u控制，达到一定状态系统完全能控； y只反映了x2系统不完全能观测。 状态x(t)： 若x(t0)=0，tt0，us，x(t)=0 x(t)不能控； 若us=0， x(t0)，tt0，y=0 x(t)不能观测；不能控不能观测的系统。 引例2 如图所 示:Cx_+RRRR_+y引例3 系统 5-2 能控 性 定义定义 （线性定常系统，状态能控性）对于线性定常系统，若若对初始状态x(t0) 0，存在输入u(t)， tt0, t1，能在有限时间区间tt0, t1内,将x(t0)转移到状态x(t1)=

3、0，则称此状态x(t0)是能控的。若若所有状态均可控，则称此系统是完全能控的；若若系统内一部分状态能控，另一部分状态不能控，则称此系统不完全能控。对于线性时变系统，强调 “ x(t0) 在 t0 时刻能控 ” 。 若若对于 t (-,)，x(t)均可控，称为“一致可控”。 （nn对称阵）为非奇异。 能控性判 据 一、线性定常系统(A,B,C)能控性判据 1. 定理1 Gram矩阵判据线性定常系统为完全能控的充要条件是存在有限时刻t10, 使Gram矩阵 证明：a）充分性： = 0 b）必要性：完全能控 WC(0, t1)非奇异。 反证法：反设WC(0, t1)为奇异，至少 于是， 又，系统完全

4、能控， 为满秩。即 2. 定理2 秩判 据 的假设与系统完全能控相矛盾，反证不成立。 即 WC(0, t1 ) 是非奇异的。 线性定常系统状态完全能控的充要条件是： 能控性判别矩阵WC rankWC=n (Ann，Bnp，WCnnp) （该定理也适用于线性定常离散系统：证明：a）充分性 已知rankWC = n 系统完全能控。反证法：反证系统不完全能控。为奇异，则存在非零向量 使其成立： 对(1)式逐次求导，直到(n-1)次，得 (1)和(2)中令t = 0，得 由于 0所以(3)式意味着WC为行线性相关。 即有 rankWCt0使Gram矩阵： 其中，(,)为该系统的状态转移矩阵。即rank

5、WC(t0, t1) = n 。（完全能控）2判据2 秩判据 设A(t)和B(t)是(n-1)阶连续可微的矩阵，若存在一个有限时刻t1, t1t0使 则线性时变系统(A(t), B(t)在时刻t0为完全能控。 其中： （ 这是一个充分条件。）5-3 能控标准形(规范形.典范 形) 讨论：单输入系统的能控规范形。 1定义 单输入系统(AC , BC)为能控规范形，若 2定理 若系统的状态方程为能控规范形，则系统必 完全能控。 证 为下三角阵,rankWC = n.若单输入系统(A, B)完全能控，则有非奇异阵P， 使（P-1AP，P-1B）为能控标准形，即 3定 理 其中： 证：设 QA=ACQ

6、 （1）QB=BC （2） 记： 由(1)： 由(2)得： 转置： 所以，可得出 若Q为非奇异（待证），Q-1存在，可令P= Q-1， P-1= Q ，则有 如此，也给出了P(P-1)构造方法。 补证：Q为非奇异 注意： 的最后一行，可知 5能控标准形系统的特 性4推论 单输入系统(A, B)完全能控的充要条件是可通过非奇异线性变换x=Pz，使系统(A, B)变为能控标准形(AC , BC) 。（单输入系统）（1）矩阵AC中的系数0 , 1, , n-1可为任意值，不影响 系统的能控性。（2）矩阵AC的特征多项式 （3） 这因为 当q=1时（SISO系统）： 例求：（1）能控标准形； （2）传

7、函G(s) ； （3）x(0)=0, u(t)=l(t)时的y(t) 。 解：（1）先判断能控性。 系统完全能控。 5-4 能观测 性 研究能观测性： 能观测性判据 一、线性定常系统的能观测性判据 1定理1 Gram矩阵判据 线性定常系统完全能观测的充要条件是存在有限时刻t10， 使Gram矩阵 为非奇异。 2 定理2 秩判据 系统(A, C)为完全能观测的充要条件是能观测性判别矩阵W0 ： 为满秩，即 该定理也适用于线性定常离散系统。 若系统(A, C)有奇异特征值，则系统完全能观测的充要条件是 CM中没有全为零的列。M=e1，e2，, en是系统的模式矩阵。 3定 理3 4定理4 对角形判

8、据 5定理5 约当规范形判据 设系统(A, C)有重特征值1(1重)，2(2重)，k(k重) ， 系统经x=Tw非奇异变换后为约当标准形。 其中，对系统(A, C)进行非奇异线性变换，x=Pz，P为 非奇异阵，不改变其能观测性。 系统完全能观测的充要条件是：均为线性无关。 的第1列所组成的矩阵 由对于单输出系统，则当i j（i , j =1, 2, ，k）得： 完全能观测的充要条件为： 例(能观测)(能观测)二、线性时变系统的能观测判 据 1判据1 Gram矩阵判据 线性时变系统(A(t), C(t)在时刻t0为完全能观测的充要条件是 存在有限时刻t1, t1t0,使Gram矩阵 为非奇异。

9、2判据2 秩判据 A(t)和C(t)为(n-1)阶连续可微，若存在时刻t1, t1t0,使 则(A(t), C(t)在时刻t0为完全能观测。 其中 5-5 能观测标准形(规范 形) 讨论单输出系统 1定义 单输出系统(Ao, Co)为能观测标准形，若 2定理 若线性定常系统的系统方程为能观测标准形， 则该系统必为完全能观测。 3定理 若单输出系统(A, C)为完全能观测， 则必有非奇异阵Q， 使(Q-1AQ, CQ)为能观测标准形。即： 5能观测标准形系统的特性（单输出系统 ） 其中 Pn为中 的最后一列构成的列向量(n1)。4推论 单输出系统(A, B)为完全能观测的充要条件是 可通过非奇异

10、线性变换x=Qz,使系统(A, C)变换为能观测标准形(Ao , Co)。 (1) Ao中i(i=0, 1, , n-1)为任意值,不改变系统的能观测性。 当P=1（SISO）， 5-6 能控与能观测典范分 解 线性系统可分解为四种系统： 能控 能观测 1 2. 3. 4. 一、能控性典范分解 定理 n 阶系统(A,B,C)，rankWc=kn，则通过非奇异变换可导出原系统按能控性典范分解的新系统 (Ac , Bc , Cc)，有 xc是k维能控状态分量，为(n-k)维不能控分量， 为能控子系统。 5-3 Tc的求法： i) 从WC中任选k (rankWC=k) 个线性无关的列向量， 它为Tc

11、的前k列：V1, V2, , Vk ； ii) 在Rn中再选n-k个列向量，记为Vk+1, Vn , 需使得： 为非奇异。证：（1）记Tc=p1, p2 其中， 由Tc的构成，知Tc-1存在。 当j k，AVj是V1, V2, , Vk 的线性组合。 因此， 于是，由(*)式，知 Q2Ap1=0 。 设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控 ，试将该系统按能控性进行分解。 例同理，B的所有列也均可由V1, V2, , Vk 线性表示； 所以，Q2B=0 。 即有 解 系统能控性判别阵 rankWc=2n=3 所以系统是不完全能控的。 其中Tc3是任意的，只要能保证Tc非奇异即可。 变换后

12、的系统的状态空间表达式 即 能控子系统为 用MATLAB进行分解： A=0 0 -1;1 0 -3;0 1 -3; B=1;1;0;C=0 1 -2; Tc=1 0 0;1 1 0;0 1 1; Ac=inv(Tc)*A*Tc, Bc=inv(Tc)*B, Cc=C*Tc为能观测子系统。可将原系统变换为按能观测典范分解的新系统 (Ao , Bo , Co)，有 5-4定理 n 阶系统(A, B, C)， rankWo=rn，通过非奇异变换变换 ，xo为r 维能观测状态分量；是(n-r)维不能观测的状态分量。二、能观测性典范分 解 To-1的求法: i) 从Wo中任选r(rankWo=r)个线性

13、无关的行向量，作为 To-1的前r 个行向量。ii) 在Rn中再选(n-r)个行向量，构成To-1，并使To-1为非 奇异。例 设线性定常系统如下，判断其能观测性；若不完全 能观测，试将该系统按能观测性进行分解。 解 系统能观测性判别阵 rankWo=2n 所以系统是不完全能观测的。 即 其中是任意的，只要能保证非奇异即可。 变换后的系统的状态空间表达式 能观测子系统为 用MATLAB进行分解： A=0 0 -1;1 0 -3;0 1 -3; B=1;1;0;C=0 1 -2; To=inv(0 1 -2;1 -2 3;0 0 1); Ao=inv(To)*A*To, Bo=inv(To)*B

14、, Co=C*To三、线性系统的典范分 解引理 系统(A, B, C)完全能控且完全能观测的充要条件是： 证明 能控的充要条件：rankWc=n 能观的充要条件：rankWo=n 又由Sylvester不等式： 其中， 因此，系统完全能控且完全能观测，则必有 定理 不完全能控、不完全能观测的n阶系统(A, B, C) 则可通过非奇异变换 ,将原系统(A, B, C)变换为按能控性 和能观测性典范分解的系统(Aco,Bco,Cco)有：(1) 能 控 能观测 为能控且能观测子系统。 5-5按能控性和能观测性进行典范分解的步 骤 是状态不完全能控和不完全能观测的，试将该系统按能控性 和能观测性进行结构分解。 可只须经过一次变换对系统同时按能控性和能观测性进行 结构分解，但变换阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。下 面介绍一种逐步分解的方法。(1) 先将系统按能控性分解； (2) 将不能控的子系统按能观测性分解；(3) 将能控的子系统按能观测性分解； (4) 综合以上三次变换，导出系统同时按能控性和能观测 性进行结构分解的表达式。 例 已知系统解 前例已将该系统按能控性分解 不能