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1、 递推数列第一节 递推数列综合介绍u基本定义：指数列中从某一项开始，其每项都是通 过它前面的项经过一定的运算得到。 u基本类型：和、方、积、倍、差、商。 u重点难点：修正项变化。【例1】 1、3、4、7、11、（ ） A.14 B.16 C.18 D.20 【例2】（黑龙江07）25 15 10 5 5 ( )A.-5 B.0 C.5 D.10B【例3】 1，3，7，15，31（ ） A.61 B.62 C.63 D.64 【例4】2， 7， 14， 98， （ ）A.1370 B.1372 C.1422 D.2008B 【例5】（北京应届2007）9， 6， ， 4， （ ）A.2 B. C
2、.3 D.D 【例6】 2，4，16，256，（ ） A.131072 B.65536 C.32768 D.16384 递 推 数 列整体 递减差商减倍失败整体 递增增长 缓慢增长 急速增长 较快和、方、 积都失败和方积增倍翻转递推数列“整体趋势法 ”尝试“和方积倍差商”规律完全吻合相差很远相差不大规律找到，答题完成规律错误，继续尝试得到修正项简单数列前项相关第二节 整体趋势法 回顾：递推和、积、方、倍、差、商数列 。 “整体趋势法”是指以数列的整体变化趋 势为主要依据，从而判断数列的递推类型 的一种方法，包括以下两步： （1）看趋势，根据数列当中数字的整体 变化趋势初步判断递推的具体形式；
3、（2）作试探，根据初步判断的趋势作合 理的试探，并分析其误差，即“修正项” 。一、基础递推数列 【例 1】2，3，9，30，273，（）A.8913 B.8193 C.7893 D.12793 解析:整体递增，相邻两项没有明显的和、平方关系，但 有明显的积关系，前两项相乘加3等于第三项。答案：B 【例 2】-1， 1， 7， 25， 79， 241， （ ）A.727 B.722 C.717 D.712 解析：整体递增，相邻两项没有明显的和、平方、积关 系，但相邻两项有明显的3倍关系，第一项乘3，加4， 等于第二 项。答案：A 总结：修正项是常数数列 （要么加3， 要么减2，要么加4等等）知识
4、应用例1、1，3，5，9，17，31，57，（ ）A.105 B.89 C.95 D.135 解析：整体递增，相邻四项明显有和关系，选A二、“数列型修正项”递推数列 【例3】（浙江08第10题 ）2，5，13，35，97，（ ）A214 B275 C321 D336 .解析：整体递增，相邻两项没有明显的和、平方、积关系，但较明显 的 3倍关系，每个数字的3倍与后面的数字比较时，得到修正项：-1，-2 ，- 4，-8，-16，得到结果是973-16=275 【例4】天津、湖北、陕西联考09)1，4，11，30，85,（ ）A248 B.250 C256 D260 .解析：整体递增，相邻两项没有明
5、显和、方、积关系，但较明显3倍 关 系，每个数字的3倍与后面的数字比较时，得到修正项1，-1，-3，-5 ，-7 ，得到结果是853-7=248. 总结：其中修正项比常数数列较复杂，（ 找规律看较大的数字而不过于大）其修正 项一般是等差、等比简单的数列形式。知识应用例1、 1，4，12，32，80，（ ），448A.162 B.182 C.192 D.212三、 “前项型修正项”递推数列 【例5】 (山东09) 13 9 31 71 173 （）A 、235 B、 315 C、367 D、 417解析：整体递增，相邻两项没有明显的和、平方、积关系 ， 但较明显的23倍关系，我们研究后三项“31
6、、71、173” 发 现存在712+31=173；其他数字也满足这样关系，所以（ ）=1732+71=417。 【例6】 -2，1，3，8，61，（）A 3713 B 3723 C 3733 D 3743解析：整体递增，相邻两项有较明显的平方关系，我们研 究 3，8，61之间关系，发现823=61，其他数字也满足同样 关系。所以（）=6128=3713。 总结：通过前面的学习，我们发现研究两 个或三个数字之间递推联系时，有可能结 果直接吻合（渐少），也可能产生修正项 ，前面讨论过，这个修正项可能是常数、 等差、等比等简单数列。与此同时，修正 项还有可能不是独立的数列，而是与两个 或三个数字之间
7、那个数字存在数量关系。知识应用例1、 13 9 31 71 173 （）A235 B315 C367 D417递推数列“整体趋势法 ”尝试“差商和方积倍”规律完全吻合相差很远相差不大规律找到，答题完成规律错误，继续尝试得到修正项简单数列前项相关精彩瞬间 【例8】（国考08年41）157，65，27， 11，5，（） A.4 B.3 C.2 D.1 解析：52+（）=11 【例9】（国家07年42）1，3，4，1，9 ，（） A.5 B.11 C.14 D.64 解析：（19)2 =64第三节、递推联系法1、递推联系法：通过研究递推数列当中相邻两个 或三个数字之间的“递推联系”，从而找到解题的
8、关键的方法。 2、类型：两项递推（研究三个数字递推联系）一项递推（研究两个数字递推联系）一、两项递推法 圈定数列当中三个相邻的数字（要求三个数字 较大不失代表性，但不要过大增加计算复杂性 ），研究这三个数字当中，前两个数字运算得 到第三个数字的所以简单递推形式，将得到的 递推形式带入到其他数字之间进行验算，全部 吻合为最终规律 例3（国考10）1，6，20，56，144，（ ） A.384 B.352 C.312 D.256 解析：206）4=56知识运用例1（江苏09）1，3，5，11，21，（）A.25 B.32 C.43 D.46 解析：52+11=21 例2（浙江09）22，36，40
9、，56，68，（）A.84 B.86 C.90 D.92 解析：40+56/2=68 例3、1，3，5，11，21，（ ）A.25 B.32 C.43 D.46 例4、204，180，12，84，-36，（ ）A.60 B.24 C.10 D.8二、单项联系递推法圈定数列当中两个相邻的数字（要求两个数字较 大 不失代表性，但不要过大增加计算复杂性），研 究 这两个数字当中，前一个数字运算得到第二个数 字 的所以简单递推形式，将得到的递推形式带入到 其 他数字之间进行验算，全部吻合为最终规律 例 (浙江10、江苏07B) 2，3，7，25，121 ，（）A.256 B.512 C.600 D.7
10、21 解析：2554=121 知识运用例1、（安徽08）74，38，18，10，4（）A.2 B.1 C.4 D.3 解析：74/2+1=38 例2、 7，15，29，59，117，（ ）A.227 B.235 C.241 D243 总结：数字推理的解题思路在熟练掌握解题规律的基础上一般遵循下列步骤 ： 第一步：观察数列中每一个数字特点，即从某一 个数字发散。如一个数字变成另外一个数字的 平方、立方、阶乘等形式进行表示，或者表示 成两个数字的积等形式。而在表示的时候尽量 用项数表示。第二步：在数列本身找规律:先考察前面相 邻的两三个数字之间的关系，在大脑中假 设出一种符合这个数字关系的规律，如
11、将 相邻的两个数相加或相减，相乘或相除之 后，并迅速将这种假设应用到下一个数字 与前一个数字之间的关系上，如果得到验 证，就说明假设的规律是正确的，由此可 以直接推出答案；如果假设被否定，就马 上改变思路，提出另一种数量规律的假设 。另外，有时从后往前推，或者“中间开 花”向两边推也是较为有效的。 第三步：观察数列特点，如果数列所给数字 比较多，数列比较长，超过5个或6个，就 要考虑本数列是不是隔项数列、分组数列 、多层级数列或常规数列的变式。如果奇 数项和偶数项有规律地交替排列，则该数 列是隔项数列；如果不具备这个规律，就 可以在分析数列本身特点的基础上，三个 数或四个数一组地分开，就能发现
12、该数列 是不是分组数列了。如果是，那么按照隔 项数列或分组数列的各自规律来解答。第四步： 如果不是隔项数列或分组数列，那么从数字的相 邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后 符合上述的哪种规律，然后寻求答案。巩固提高1. 4，3，2，0，1，-3，（）A.-6 B.-2 C. D.0 2. 4，24，124，624，（）A.1023 B.781 C.3124 D.1668 3.（09国）0 ，1/6，3/8 ， 1/2 ，1/2 （ ） A5/13 B7/13 C. 5/12 D7/12 4. 5，（），39，60，105A.10 B.14 C.25 D.30 5.2,11/3,28/5,53/7，86/9,( )A.12 B.13 C.123/11 D.127/11巩固提高例6、3，8，9，0，-25，-72，（ ）A.-147,B.-144, C.-132, D.-124. 例7、1，4，12，32，80，（ ），448.A.162 B.182 C.192 D.212. 例8、（08省）14，20，54，76，（）A.104 B.116 C.126 D.144 例9、（09国考）7，7, 9，17，43，（）A.119 B.117 C.123 D.121
