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1、15 平面问题有限元法第五章 平面问题有限元法2一、有限元法的实质实质：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。有限单元 离散化 集合 总体分析解 有限元法连续体单元代替原连续体 （近似法） （单元分析） 线性方程组5.1 有限元法解题步骤返回返回第五章 平面问题有限元法35.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤xy为平面应力问题， 由于结构的对称性 可取结构的1/4来研 究，故所取的力学 模型为1. 力学模型的建立问题的提取：研究对象问题分类：平面问题、轴对称问题、板、梁、杆或组合体等边界条件处理：边界和约束的处理和施加
2、模型简化：对称或反对称、坐标系选取返回返回第五章 平面问题有限元法45.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤根据研究的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对 于平面问题可用三角形单元、四边形单元等。2. 单元的选取、结构的离散化例如：返回返回第五章 平面问题有限元法55.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤用单元节点的位移通过插值获得单元内各点的位移。通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，多项式 的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项 和一次项。3. 选择单元的位移模式单元内任一点的位移列阵；单元的节点位移列阵；单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐
3、标的函数） 返回返回（5-1）第五章 平面问题有限元法6把（5-2）式代入物理方程，得到用单元节点位移表示的 单元应力表达式：把（5-1）式代入几何方程，得到用单元节点位移表示的 单元应变表达式：5.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤 4. 单元的力学特性分析利用虚功方程建立单元节点力与节点位移之间的关系，即 单元的刚度方程：式中：返回返回（5-2）（5-3）第五章 平面问题有限元法7由节点位移列阵 代入（5-3）式求出各单元的应力值。5.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤考虑约束情况，修改整体刚度方程，变成以节点位移为未知 量的代数方程组。解此方程组可求出节点位移。将单刚
4、 组集成总刚 ，并将 组集成总载荷列阵 ， 形成总体结构的刚度方程：5. 建立整体结构的刚度方程6. 求解修改后的整体刚度方程7. 由单元的节点位移列阵计算单元应力返回返回第五章 平面问题有限元法85.1 有限元法解题步骤 二、有限元法的解题步骤求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，可以输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等。8. 计算结果输出返回返回第五章 平面问题有限元法95.2 三角形常应变单元 一、离散化把弹性体划分为有限个互不重叠的单元体，这些单元在 其顶点（即节点）处互相连接，组成一个单元集合体，以替
5、 代原来的弹性体。同时，将所有作用在单元上的载荷（包括 集中载荷、表面载荷和体积载荷），都按静力等效的原则移 置到节点上，由此便得到了平面问题的有限元计算模型。 对于平面问题，三节点三角形单元是最简单、也是最常用的 单元，在平面应力问题中，单元为三角形板，而在平面应变 问题中，则是三棱柱。返回返回第五章 平面问题有限元法105.2 三角形常应变单元返回返回通常，集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分 布载荷与自由边界的分界点、支承点等都应该取为节点。并 且，当物体是由不同的材料组成时，厚度不同或材料不同的 部分，也应该划分为不同的单元。节点的选择及单元的划分节点的多少及单元的大小根据要 求
6、的计算精度、计算机的容量等方面 来综合考虑。在保证计算精度的前提 下，应力求采用较少的单元。划分单元时，应力变化梯度较大的部位单元可小一些， 而在应力变化比较平缓的区域可以划分得粗一些。单元各边的长度不要相差太大，以免出现过大的计算误 差或出现病态矩阵。如上图，左图的划分方式显然要比右图 的方式好。第五章 平面问题有限元法115.2 三角形常应变单元 每一个单元体仍是一个弹性体，弹性力学的基本方程 在每个单元内部同样适用。 如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应 力分量也就确定了，因此，有限元分析必须先假定一个 位移模式。 整个弹性体内各点的位移变化情况非常复杂，很难选 取一个恰当的位
7、移函数。如果分割成小单元，那么在每 个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似 地表示单元的真实位移。返回返回第五章 平面问题有限元法12二、位移模式返回返回位移模式：亦称单元位移函数，是把单元中任意一点的位移近似地表示为该点坐标的某种函数。根据数学理论，在一闭区间内的函数总可以用一个多项式近似描述，多项式的项数越多，精度越高，因此，采用多项式描述单元中的位移函数，其项数受单元节点数的限制。 5.2 三角形常应变单元单元内任意点位移：1、2、6 是待定常数。平面三角元位移模式：第五章 平面问题有限元法135.2 三角形常应变单元 三、位 移返回返回节点编号i、j、m逆 时针排列节点坐标：
8、节点位移：节点力：第五章 平面问题有限元法145.2 三角形常应变单元由左边的三个方程可以求得 就是三角形i、j、m的面积。为保证求得的面积为正值，节 点i、j、m的编排次序必须是逆时针方向。返回返回第五章 平面问题有限元法155.2 三角形常应变单元数学知识 线性方程组的解 克莱姆法则行列式按一行（列）展开返回返回第五章 平面问题有限元法16返回返回经整理后得到 其中 （i , j , m轮换）（i , j , m轮换）5.2 三角形常应变单元第五章 平面问题有限元法17Ni 、Nj 、Nm 是坐标(x, y)的函数，反映了单元内的位移状 态，称为形状函数，简称形函数。返回返回5.2 三角形
9、常应变单元形函数性质：（i , j , m轮换） 形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零” 的性质，即第五章 平面问题有限元法18返回返回 在单元的任一点上，三个形函数之和等于1，即 三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点 坐标有关、而与其它节点坐标无关。例如，在i j 边上，有利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行 线性插值之后，在其公共边上位移是连续的。5.2 三角形常应变单元第五章 平面问题有限元法195.2 三角形常应变单元返回返回四、应变利用几何方程，求单元内一点应变：第五章 平面问题有限元法205.2 三角形常应变单元返回返回简写成单元应变矩阵
10、子矩阵形式矩阵B中的诸元素都是常量，单元内任一点的应变分量也 是常量，称这类单元为常应变单元。 第五章 平面问题有限元法215.2 三角形常应变单元返回返回利用物理方程求单元内点的应力：五、应力写成分块形式对于平面应力问题对于平面应变问题：单元应力矩阵第五章 平面问题有限元法225.2 三角形常应变单元返回返回对于三角形单元（常应变单元），由于所选取的位移模式是线性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是连续的。第五章 平面问题有限元法23返回返回六. 单元刚度矩阵应用虚位移原理对单元e进行分析假设单元e有虚位移，则节点虚位移:单元内点
11、的虚位移为f *，并具有与真实位移相同的位移模 式，故有：单元节点力列阵:5.2 三角形常应变单元第五章 平面问题有限元法24返回返回单元内的虚应变：作用在单元体上的外力在虚位移上所做的虚功:单元应力在虚应变上所做的虚功即虚应变能：5.2 三角形常应变单元单元厚度为t虚位移方程：得到单元平衡方程：第五章 平面问题有限元法25返回返回5.2 三角形常应变单元Ke称为单元刚度矩阵。如果单元材料是均质的，那么矩阵D中的元素就是常量，且 三节点三角形为常应变单元，B矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常量时，可得：Ke =BT DBt令单元刚度方程：t为单元厚度，为三角形单元的面积。第五章 平面问题
12、有限元法26返回返回5.2 三角形常应变单元 写成分块形式：单元的刚度取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与单 元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。平面应力问题：平面应变问题：第五章 平面问题有限元法27返回返回5.2 三角形常应变单元第五章 平面问题有限元法28返回返回5.2 三角形常应变单元1.对对称于主对对角线线的对对称矩阵阵。2.单刚单刚 矩阵阵中每个元素为刚为刚 度系数。3.主对对角线线元素恒为为正值值。物理意义义：主对对角线线元素为为正值值，说说明节节点位移方向与节节点力方向一致。4.是奇异矩阵阵，即其行列式值为值为 0，不存在逆矩阵阵。物理意义义：在无约约束条件下，
13、单单元可以做刚刚体移动动，其位移是不定的。5.仅仅与单单元应变应变 矩阵阵B和弹弹性矩阵阵D有关。说说明单单元刚刚度矩阵仅阵仅 与单单元节节点坐标标和材料物理性质质有关。 第五章 平面问题有限元法29返回返回5.2 三角形常应变单元单元分析的过程第五章 平面问题有限元法30返回返回5.3 整体分析 一. 整体方程整体节点位移列阵：节点号从小到大的顺序排列组成其中(i =1,2, , n ) 整体载荷列阵：其中(i =1,2, , n ) 整体方程：第五章 平面问题有限元法31返回返回5.3 整体分析 二. 总体刚度矩阵 1. 单刚矩阵 Ke 扩充到总刚矩阵的阶数(单元贡献矩阵)22阶子矩阵Ki
14、j 将处于上式中的第i双行、第j双列中； 除了i, j, m 双行和双列上的子矩阵外，其余元素均为零。第五章 平面问题有限元法32返回返回5.3 整体分析2. 所有单元贡献矩阵叠加成为2n阶的总刚矩阵 当Krs 的下标r = s或者属于同一个单元的节点号码时， Krs 才可能不等于零，否则均为零。第五章 平面问题有限元法33返回返回5.3 整体分析组装总刚K的一般规则：1. 当Krs中r = s时，该点被哪几个单元所共有，则总刚子矩阵Krs就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵Krse的相加。2. 当Krs中r s时，若rs边是组合体的内边，则总刚子矩阵Krs就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵Krse
15、的相加。3. 当Krs中r和s不同属于任何单元时，则总刚子矩阵Krs=0。第五章 平面问题有限元法34返回返回5.3 整体分析123421q组装总刚的实例：节点总码：1、2、3、4 节点局部码:每个单元按逆时针方向 的顺序各自编码 i, j, m单元的局部码与总码的对应关系：单元 1 ： i，j，m 1，2，3单元 2 ： i，j，m 3，4，1或：单元 1 ： i，j，m 1，2，3单元 2 ： i，j，m 1，3，4单元e的刚度矩阵分块形式为：第五章 平面问题有限元法35返回返回5.3 整体分析整体刚度矩阵分块形式为：其中每个子块是按照 节点总码排列的。组集整体结构刚度矩阵:1. 把单元刚度矩阵扩大成单元贡献矩阵单元 2 局部码 i，j，m 对应总码3，4，1总码 1 2 3 4 1 234m i j 局部码第五章 平面问题有限元法36返回返回5.3 整体分析2. 把各单元的贡献矩阵对应行和列的子块相叠加应该指出: 整体刚度矩阵 中每个子块为 阶矩阵，若 整体结构分为n个节点，则整体刚度矩
