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1、- 1 -等比数列(一)教案设计江苏省丹阳六中 汪正文教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等比数列的定义及通项公式.教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.教学过程：.复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来共同回顾一下有关内容：等差数列定义：文字表述：_；符号表示：a n-an-1 =d (n2) (递推公式) ；等差数列通项公式：a n=a1+(n-1)d (nN *)一般推广：a n=am+(n-m)d (mn,m、nN *) 公式推倒
2、(过程中所蕴涵的思想和 )方法迭代归纳思想叠加法.讲授新课问题：观察下列几组数列，说说它们有何共同特点?1，2，4，8，16，2 63；5，25，125，625，； ， ，；1214 181，1，1，1，；T：共同特点：从第二项起，各一项与前一项的比都等于同一个常数.S：对，从第二项起，各一项与前一项的比都等于同一个常数（和等差数列相比）我们把具备这种特点的数列叫作等比数列.-正题T：那么请同学们用自己的语言给等比数列下个定义等比数列定义：文字表述：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. （和等差数列类比）这个常数叫做等比数列的公比；
3、通常用字母 q 表示 (q0) 。符号表示： (n 2, nN*) 或 ( nN*)1aq1na- 2 -T：数列、都是等比数列，它们的公比依次是 2，5， ，1 与等差数列比12较，仅一字之差。练习：判断下列数列是否是等比数列，若是，试写出公比及通项公式.1、 、 、 、139271、2、4、8、12、16、20 、 、 、 、8、8、8、8、8、8、a、a、a、a、a、T：请同学来回答，不是、不一定；公比是：_；通项公式：_注：常数列不一定是 GP;(由得出，与 AP 类比不同) a n 成 GP，隐含了 an0 且 q0；(在 AP 中公差 d 可以为 0，问 q0？)若 q0 时，是同
4、号数列；(通过观察 q 的正负分析得出，再类比 AP)若 qn,m、nN *) 变： mnaqT：在 AP 中，有 an=am+(n-m)d，那在 GP 中 an、a m 有怎样的关系呢？S：a na mqnm ， T：怎样证明？a na 1qn1 = = =- 3 -ama 1qm1 方程思想，两式一比/ 除（ AP 数列中，加加减减）T：类比从函数的观点理解：AP 数列 an=an+b 是关于 n 的一次形式，那 GP： ana 1qn1 = c注：从函数的观点理解：等比数列 an 是类指数函数。q问：数列 ； ；3n)(a2 ； 以上数列哪些是等比数列？n21anT：下面我们就利用等比数
5、列的相关知识来解决一些简单问题。题例： 例 1已知数列 3，6，12，24，是等比数列，判断 192，200 是否是该数列中的项？若是，是第几项？ (S 板演)例 2在等比数列a n中，已知 a3=20， a6=160，求通项公式 a n。 (S 板演)评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.（2 法）例 3在等比数列a n中， ， ，则公比的取值范围是_.（0，1）01n1(先提问，在讨论、分析、归纳) 从而得出：注：数列 a n 是 GP，若 a n 递增 且 或 且 ；1aq10aq若 a n 递减 且 或 且 ；0课时小结：等比数列的定义： q(q0，q 为常数，n2) ；anan
6、1等比数列的通项公式：a na 1qn1 (n2) 及推导过程.练习：课本 P481，2，3一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，求它的第 1 项与第 2 项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是 a1，公比是 q则： a1 q2 12 a1 q3 18 )得：q 32- 4 -代入得：a 1163a na 1qn1 （ ） n1 ，a 2a 1q 8.163 32 163 32答：这个数列的第 1 项与第 2 项分别是 和 8.163已知a n是无穷等比数列，公比为 q.(1)将数列a n中的前 k 项去掉，剩余各项组成
7、一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设a n为：a 1，a 2，a k，a k+1，则去掉前 k 项的数可列为：a k+1，a k+2，a n，可知，此数列是等比数列，它的首项为 ak+1，公比为 q.(2)取出数列a n中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设a n为：a 1，a 2，a 3，a 2k1 ，a 2k，取出a n中的所有奇数项，分别为：a1，a 3，a 5，a 7，a 2k1 ，a 2k+1， q 2(k1)a2k+1a2k 1 a1q2ka1q2k 2此数列为等比数列，这个数列的首项是 a
8、1，公比为 q2.(3)在数列a n中，每隔 10 项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？解：设数列a n为：a 1，a 2，a n，每隔 10 项取出一项的数可列为：a 11，a 22，a 33，可知，此数列为等比数列，其公式为： q 11.a22a11 a11q11a11评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.课后作业课本 P52 习题 1，2，3，4等比数列(一)1已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，S np n，那么数列a n是 （ ）A.等比数列 B.当 p0 时为等比数列C.当 p0，p1 时为等比数列 D.不可能为等比数列 2公差不
9、为 0 的等差数列a n中，a 2，a 3，a 6 依次成等比数列，则公比等于 （ ）A. B. C.2 D.312 133数列a n的前 n 项之和是 Sna nb(a、b 为常数且 a0，1)，问数列a n是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.- 5 -4已知等比数列 x， ，y ， ， ，求 x，y.34 271681325已知数列a n是等比数列，首项为 a1，公比不等于 1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第 t，k，p 项，求数列 an的通项公式.6已知数列a n为等比数列，a 1a 310，a 4a 6 ，求 a4 的值.54等比数列(一)答案1D 2D3数列a
10、n的前 n 项之和是 Sna nb(a、b 为常数且 a0，1)，问数列a n是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.分析：利用等比数列的定义解题.解：a 1S 1ab，当 n2 时，a nS nS n1 (a1) an 1又 a1(a1) a0a1若 a1ab，即 b1 时，显然数列a n不是等比数列 .若 a1ab，即 b1 时，由 an(a1) an1 (n1) ，得 a( n2)anan 1- 6 -故数列a n是等比数列.4x ，y12 985已知数列a n是等比数列，首项为 a1，公比不等于 1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第 t，k，p 项，求数列 an的通项公
11、式.分析一：先从等比数列入手解决问题.解法一：设符合题设的等比数列a n中的连续三项为 am，a m+1，a m+2，则：am+1a mq，a m+2a m+1q (q 为公比)两式相减，得 qam 2 am 1am 1 am又 am+1a m(kt )d，即 am+1a m( kt)d同理 am+2a m+1(pk )d(d 为公差） ，故 q （p k）d（k t）d p kk t所求通项公式为 ana 1( )n1 .p kk t分析二：先从等差数列入手解决问题.解法二：设等差数列为b n，公差为 d，则b1 b1 （t 1）dbk b1 （k 1）dbp b1 （p 1）d)由题设知，
12、b t，b k，b p 是等比数列a n中的连续三项：故 q bkbt bpbk利用等比定理，可得 bkbt bp bkbk bt （p k）d（k t）d p kk tq ，a na 1( )n1 .p kk t p kk t6已知数列a n为等比数列，a 1a 310，a 4a 6 ，求 a4 的值.54分析：要求 a4 可以先求 an，这样求基本量 a1 和 q 的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.解：设此数列的公比为 q,由已知得：由 a10，1q 20，得，q 3 q a18. a4a 1q38 1.1812 18评述：本题在求基本量 a1 和 q 时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.
