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1、第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答要点 用逆解法、半逆解法求解平面弹性 力学问题。 属于平面问题的应力解法Chapter 3 solution of plane problems in rectangular coordinates 3-1 多项式解答3-2 位移分量的求出3-3 简支梁受均布载荷3-4 楔形体受重力和液体压力主 要 内 容3-1 多项式解答(Solutions by Polynomials)适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能解决什么样的 力学问题。逆解法其中： a、b、c 为待定系数。检验(x
2、,y) 是否满足双调和方程：显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1. 一次多项式 polynomial of first degree（2）Inverse method3-1 多项式解答(Solutions by Polynomials)适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能解决什么样的 力学问题。逆解法 1. 一次多项式 polynomial of first degree（3） 对应的应力分量：若体力：X = Y =0，则有：Inverse method结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该
3、函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2. 二次多项式 polynomial of second degree（1）其中： a、b、c 为待定常系数。(假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数 )（3）由式（2-26）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xy试求图示板的应力函数。例：xy3. 三次多项式 polynomial of second degree（1）其中: a、b、c 、d 为待定系数。检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力
4、函数 )(假定：X =Y = 0)（3） 由式（2-26）计算应力分量：结论3：三次齐次多项式对应于线性应力分布。例：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：MM可见： 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数 d 与弯矩 M 的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果相同， 说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。xy1llMM说明：(1)组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差； 但按圣维南原理，仅在两端误差较 大，离端部较远处误差较小。(3)当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大
5、。4. 四次多项式（1）检验(x,y) 是否满足双调和方程（2）得可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：（3） 应力分量： 应力分量为 x、y 的二次函数。（4）特例： （须满足：a + e =0）总结：（多项式应力函数 的性质） （1） 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应
6、于线性分布应力。（3） （4） 用多项式构造应力函数(x,y) 的方法 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，如何由 求出形变分量、位移分量？问题：3-2 位移分量的求出Determination of displacements以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？ xyl1hMM1. 形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量(a)将式（a）代入得：(b) （2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)（2）位移分量(c)将式（c）前两式积分，得：(d)将式 (d) 代入 (c) 中第三式，
7、得：式中 ：为待定函数。整理得：（仅为 x 的函数） （仅为 y 的函数）要使上式成立，须有(e)式中：为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)（1）( f )讨论：式中：u0、v0、 由位移边界条件确定。当 x = x0 =常数（2）位移分量xyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明： 同一截面上的各铅垂 线段转角相同。横截面保持平面 材力中“平面保持平面”的假设成立。（2）将下式中的第二式对 x 求二阶导数：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲 率相同。即 材料力学中挠曲线微分方程2. 位移边界条件的利用（1）两端简支(f)其边界条件：将其代入(f)式，有将
8、其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程： 与材力中结果相同（2）悬臂梁(f)边界条件h/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（该点水平轴线在 端部不转动）代入式（f），有可求得：(3-4) h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题 ，则将材料常数E、 作相应替换。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等） ，假设部分应力分量 的某种函数形式 ；（2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求 出(x,
9、y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和 位移单值条件。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。Semi-inverse methodSemi-inverse method3-3 简支梁受均布载荷要点 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2 h/2q 1. 应力函数的确定(1 )分析： 主要由弯矩引起； 主要由剪力引起；由 q 引起（挤压应力）。又 q =常数，图示坐标系和几何对称， 不随 x 变化。推得
10、：(2 )由应力分量表达式确定应力函数 的形式：积分得：(a ) (b ) 任意的待定函数Simply supported beam under uniform loadxyllqlql1yzh/2 h/2q(a ) (b ) 任意的待定函数(3 )由 确定：代入相容方程：xyllqlql1yzh/2 h/2q方程的特点：关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立,有无穷根。 由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c )此处略去了f1(y)中的常数项对第三个方程得：积分得：(d )(c)(d)xyllqlql1yzh/2 h/2q (
11、a ) (b )将(c) (d) 代入 (b) ，有(e )此处略去了f2(y)中的一次项和常数项式中含有9个待定常数。(e )2. 应力分量的确定(f) (g )(h )3. 对称条件与边界条件的应用(f) (g )(h )（1）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2 h/2q 由 q 对称、几何对称： x 的偶函数 x 的奇函数由此得：要使上式对任意的 y 成立，须有：xyllqlql1yzh/2 h/2q（2）边界条件的应用：(a) 上下边界（主要边界）：由此解得：代入应力公式xyllqlql1yzh/2 h/2q( i )( j )( k )(b) 左右边界（次要边界）：（由于对
12、称，只考虑右边界即可。） 不可能满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力 N = 0；弯矩 M = 0；剪力 Q = ql；( i )( j )( k )可见，这一条件自动满足。代入：xyllqlql1yzh/2 h/2q(p)截面上的应力分布：三次抛物线xyllqlql1yzh/2 h/2q(p)4. 与材料力学结果比较材力中几个参数： 截面宽：b=1 ,截面惯矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式 ( p ) ，有（3-6）xyllqlql1yzh/2 h/2q（3-6）比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当 h / l1，该 项误差很小，可略；当 h / l较大
13、时 ，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力 中不考虑。（3）与材力中相同。注意： 按式（3-6），梁的左右 边界存在水平面力：说明式（3-6）在两端不 适用。解题步骤小结：（1）（2 ）（3 ）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规 律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形 式。由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应 力函数 的具体形式（具有待定函数）。（4）（5）将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确 定 中的待定函数形式。由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应 力分量 。由边界条件确定 中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面
14、问题的基本步骤：例题 ：悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：应力函数 及梁内应力。 xyObl解：(1) 应力函数的确定 xQM取任意截面，其内力如图：取 作为分析对象，可假设 ：（a） f(y)为待定函数由 与应力函数 的关系，有 ：（b）对 x 积分一次，有：对 y 再积分一次，有：其中：（c）xyOblxQM（c）由 确定待定函数：（d）要使上式对任意的x，y成立，有（e）（f）由式（ e）求得 （g）由式（ f）得（h）（i）积分式（ h）和（i）得（j）（k）xyOblxQM( l )包含9个待定常数，由边界条件确定。(2) 应力分量的确定( m )xyOblxQM(3) 利用边界条件确定常数( o )代入可确定常数为： 把这些常数代入式（m）得xyOblxQM
