博弈论第一章2

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1、纳什均衡的思想 设想在博弈论预测的博弈结果中, 给每个参 与者选定各自的战略, 为使该预测是正确的,必须 使参与者自愿选择理论给它推导出的战略.这样, 每一个参与者要选择的战略必须是针对其他参与 者选择战略的最优反应, 这种理论推测的结果可以 叫做“战略稳定”或“自动实施”的, 因为没有参与者 愿意独自离弃他所选定的战略,这一状态称做纳 什均衡（Nash Equilibrium）. 定义:在n 个参与者的标准式博弈中,如果战略组合 满足对每一个 参与者i , 是(至少不劣于)他针对其他(n-1)个 参与者所选战略 的最 优反应战略，则称战略组合 是 该博弈的一个纳什均衡(纯战略).即：对所有

2、中的 都成立，亦即 是以下最优化 问题的解：着存在一些参与人 不是针对 如果 不是G 的纳什均衡,就意味 的最优反应战略, 即在 中存在 使得 如果博弈论提供的战略组合解 不是纳什均衡的解,则至少有一个参与者有动因 偏离理论的预测,使得博弈进行和理论预测不一 致. 和纳什均衡推导密切相关的是协议的理念：例一 “囚徒困境”为了更准确的理解这一概念, 看下面几个 例子：如果参与者之间要商定一个协议决定博弈 与者不遵守协议.必须是纳什均衡的略组合，否则至少有一个参 -1，-1 -9， 00， -9 -6， -6囚徒2沉默 招认 囚徒1沉默招认如何进行， 那么一个有效的协议中的战略组合 对于囚徒1来讲

3、,如果囚徒2选择战略“沉默”, 那么, 囚徒1选择“沉默”的收益为-1,选择“招认”的收益为0, 当然选择“招认”.同理可得囚徒2的 战略选择也是“招认”.因此,此博弈的纳什均衡 解为 (招认，招认). 此时双方的收益为 (-6, -6), 很明显(-1, -1) 的收益好于(-6, -6).但纳什均衡 的结果是达不到的,此所谓的“囚徒困境”. 这也正是博弈论的有趣之处, 纳什均衡的结果告诉我们一个很重要的结论: “囚徒困境”个体理性和集体理性的矛盾, 每个个体都追求个体收益最优, 其结果可能 都达不到最优,相反, 集体利益可能也受到损害. 注:亚当.斯密:每个个体追求最优,结果集体最优. 影

4、响.纳什认为亚当. 斯密忽略了个体选择时的相互 6 ，63 ，53 ，55 ，30 ，44 ，05 ，34 ，00 ，4左 中 右上 中 下例2对于参与者1,如果参与者2选择左,则参与者1 选择中(430),此时参与者1的收益为4,在 4下面划一横线, 同理可以求出参与者2选择中、 右时, 1的选择和收益. 对于参与者2可用同样的 方法求解. 格子内数字都划线的对应的双方的 战略组合(下，中)即为博弈的纳什均衡解. 1， 2 0 , 00 ,02 , 1 帕特 歌剧 拳击克里斯歌剧 拳击例3性别战博弈易知此博弈有两个纳什均衡,(歌剧, 歌剧); （拳击, 拳击)结果到底是那一个呢? 不得而知.

5、 此为多重性，是纳什均衡的缺陷之一, 也是 博弈论的一大难题.此博弈无纳什均衡（纯战略）.例4猜硬币博弈 -1 ， 11 ，-11 ， -1 -1 ，1参与人2 正面 反面参与人1正面 反面例5 博弈双方1和2就如何分100元钱进行 讨价还价. 假设确定了以下规则： 双方同时提出自己的要求的数额 和 如果 , 则博弈双方 的要求都能得到满足, 即分别得到 和 但 会选择什么数额,为什么？ 的纯战略纳什均衡,若你是其中一个博弈方, 你 如果 则该笔钱就被没收. 求该博弈 解 参与者1的效用函数为 因此,参与者1的最优选择是 1的最优反应函数.由对称性2的最优反应函数 为 . 由于双方的反应函数完

6、全相同 此为 方程 有无数解，所以该博弈有无数 个纳什均衡解 其中 为 的解. 如果我是其中的一个参与者,我会选择得到 50. 因为在该博弈的无穷个纳什均衡中,(50, 50) (50, 50) 这个均衡称为“聚点”均衡.是比较公平容易被双方接受的.例6 考虑一个有 N 个人参加的游戏:每个人 可以放最多100元钱到一部可以生钱的机器里, 机器把所有人放进去的钱的总和增加到原来的 3倍,然后再平均分给这N 个人.求此博弈的纳什均衡. 解:容易得出当N =1, 2 时,此博弈有唯一的 (100, 100)为纳什均衡. 当N =3时的情况如何? 纳什均衡. N =1, 2 时双方都放进100元钱,

7、 即 其中,m, n, p分别为三个参与者放进机器里的钱 数. m为参与者i 放进机器里的钱数. 由 可以看出, i 的最优选择是:设参与者i 的收益函数为中的任意一个数.同理可分析另外两个参与者的 选择. 因此博弈有无数个纳什均衡. 当 时情况如何? 设参与者 的收益函数为:由于所以,任何一个参与者都不放钱到机器里. 此时博弈有唯一的纳什均衡: m =0.所以参与者i 的最优选择是: 例7 “智猪博弈” 猪圈里有两头猪. 一头大猪，一头小猪， 猪圈一头有一个猪食槽，另一头安装一个按钮， 控制着猪食的供应. 按一下按钮会有10个单位 的猪食进槽，但谁按按钮谁需要付出2个单位的 的成本. 若大猪

8、先到，大猪吃到9个单位，小猪 只能吃到1个单位；若同时到，大猪吃7个单位, 小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃6个单位， 小猪吃4个单位. 求此博弈的纳什均衡. 解 此博弈的收益矩阵：容易求出此博弈的纳什均衡为:（按，等待）. （按，等待）,此纳什均衡显然是不合理的. 5，14，49，-10，0小猪按 等待大猪按等待例如：股份公司中，股东承担着监督经理 的职能，但股东中有大股东和小股东之分，他 现实中类似的现象. 门从监督中得到的收益并不一样. 而监督经理 是要付出成本的. 在监督成本相同的情况下,大 股东从监督中得到的收益显然大于小股东. 大 股东类似于“大猪”，小股东类似于“小猪”. 纳什

9、均衡是，大股东担当起监督经理的责 任，小股东则搭大股东的便车. 股票市场上炒股票的大户和小户的关系， 市场上大企业和小企业的关系也是如此. 两个重要的命题： 命题1 在n个参与者的标准式博弈中,如果重复剔除严格劣战略剔除掉除 外的所有战略,那么这一战略组 合为该博弈的唯一纳什均衡. 命题2 在n个参与者的标准式博弈中如果战略组合 是一个纳什均衡， 那么它不会被重复剔除严格劣战略所剔除. 证明： 首证命题2. (反证法)如果战略组合 是标准式博弈外的一些战略之后) 是首先被 严格优于 .（111 ）对每一个其他参与者尚未被剔除的战略空间中可能形成的战略组合 都成立.的一个纳什均衡, 但同时假定(

10、也许在剔除掉 剔除的严格劣战略, 那么在 中一定存在尚未被 剔除的战略 代如(DS)公式, 得到 由于 是均衡战略中第一个被剔除的战略, 均衡 战略中其它参与人的战略尚未被剔除, 于是作为上面等式的特例下式成立. 但是（112）和公式（NE）是矛盾的：（112）根据(NE), 必须是针对 的最 优反应, 这一矛盾证明了原命题成立.那么就不可能存在一个战略 严格优于 下证命题1,在证命题2的过程中,实际上已证明 了1的一部分.所需证明的只是如果重复剔除严格 劣战略剔除了除 之外的所有战略， 该战略是纳什均衡. 由命题2任何其它纳什均衡 必定同样未被剔除，这已证明了在该博弈中均衡 假设博弈G 是有

11、限博弈.使用反证法： 假设通过重复剔除严格劣战略剔除掉除 外的所有战略，该战略不是纳什 的唯一性. 下面只需证明余下的战略组合是纳什 均衡即可.均衡，那么一定有某一参与者i ,在他的战略集 中存在 使公式（NE）不成立，但同时 又必 须是在剔除过程中某一阶段的严格劣战略. 上述两点的正规表述为：中存在 使得 （113）并且在参与者i 的战略集中存在 ,在剔除过程中的某一阶段有 （114）对所有其他参与者在该阶段剩余战略可能的战 略组合 都成立.由于其他 参者的战略 始终未被剔除 于是下式作为(114)的一个特例成立: （1.1.5）如果 (即 是 的严格占优战略), 则 (115)和(113)

12、相互矛盾，此时证明结束. 如果由于 在最终被剔除掉了，则 一定有其他战略 在其后严格优于 .这样 在不等式（114）和(115)中，分别用 和则证明结束，否则还可构建两个相似的不等式 由于 是 中唯一未被剔除的战略，重复 换下 和 后仍然成立.这一论证过程（在一个有限的博弈中）最终一 定能完成证明. 再一次，如果奥古斯汀古诺(Augustin Cournot)是19世纪 著名的法国经济学.法国经济学强调以数理方法 对经济事实进行抽象，这与传统的英国学派重视 经验事实,主张从事实中进行归纳的经验论风格 迥然不同的.古诺可以说是法果经济学派的开山 鼻祖.他在1838年发表的对财富理论的数学原 理的

13、研究 (Researches into theMatheMatical Principles of the Theory of wealth),给出了两个 企业的博弈均衡的经典式证明，直到今天仍具生 命力.（平新桥微观经济学18讲167页）古诺均衡12 应用举例古诺(1838)提出了纳什所定义的均衡(但只 是在特定的双头垄断模型中)，但是他并没有从 理论上系统的定义均衡的意义. 古诺的研究被为 是最早的博弈论的经典文献之一. 此模型告诉我们； （1）如何对一个问题的非正式描述转化为一个博弈的标准式表述； （2）如何通过计算解出博弈的纳什均衡； （3）重复剔除严格劣战略的步骤. 下面介绍古诺的双

14、头垄断模型. 令 和 分别表示企业1, 2 生产的同质的产 产品的产量，市场中该产品的总供给为令 表示市场的出清时的价格. 更为精确一点的表述为当 时, 当 时， 为 , 产每单位品的边际成本为常数c，这里假设 设企业i 生产qi 的总成本 即企业不存在固定成本，且生产根据古诺的假定，两个企业同时进行产量决 策. 下面将此问题化为标准式博弈：三个要素 （1）参与人（企业1和企业2）； （2）参与人可以选择的战略 （3）针对每一个可能出现的参与人的战略组 合，每一个参与人的收益. 企业 的收益是自己所选战略与其它企业所 选战略的函数,假定企业 的收益就是其利润为 一对战略 如是纳什均衡,则对每个参与 者 ， 应满足: （NE） 上式对 中每一个可选战略 都成立，这一条件 等价于: 对每个参与者 , 必须是下面最优化问 题的解最优化问题的一阶条件是对收益函数关于 求 偏导，并令其等于零，其解为 （121）那么,如果产量组合 要成为纳什均衡， 企业产量选择必须满足：解这一对方程组得 均衡解小于 , 满足上面的假设. 且两个企业 的利润为 另外，每家企业当然都希望