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1、参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，实用偏微分方 程 （原书第四版），机械工业出版社，2007Date1Date2一、数学物理方程一、数学物理方程( (泛定方程泛定方程):):物理规律的数学表示物理规律的数学表示物理现象 物理量u 在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言描述泛定方程泛定方程反映的是反映的是同一类物理现象的共性同一类物理现象的共性，和具，和具体条件无关。体条件无关。数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程 ，特别是偏微分方程和积分方程。重点讨论重点讨论：二阶线性偏微分方程。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律 ，跟具体条
2、件无关。Date3三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程Date451 边界问题-边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件 2 历史问题-初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。 定解条件定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。泛定方
3、程泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。二、定解条件Date56具体问题求解的一般过程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件求解所必须的已知条件3、求解方法 行波法、分离变量法、积分变换法、格林 函数法和变分法Date67.1 7.1 数学模型（泛定方程）的建立数学模型（泛定方程）的建立建模步骤：（1）明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元划出任一微元，分析邻近部 分与它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理规律？（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。Date7( (一）均匀弦
4、横振动方程一）均匀弦横振动方程现象描述现象描述（如图） ：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动目的：目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程设定设定: : (1)弦不振动时静止于x轴;(2)用u u( (x x, ,t t) )表示t时刻弦上任一点任一点x在垂直于x轴方向上的横向位移（偏离）情况 弦的横振动Date8选取不包括端点的一微元x, x+dx弧B段作为研究对象.研究对象:(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为 ：假设与近似：(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小, 张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅考虑1和
5、2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略质量线密度，u(x)u+duu012T2T1xx+dxFBDate9B段弦的原长近似为dx.振动拉伸后：u(x)u+duu012T2T1xx+dxBFB段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量 m= dx物理规律：用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：牛顿运动定律：Date10沿x-方向： 弦横向振动不出现x方向平移， 得力平衡方程沿垂直于x-轴方向： 由牛顿运动定律得运动方程在微小振动近似下：由（1）式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu012T2T1xx+dxBF（1）（2）Date11波动方程：波速a受迫振动方程单
6、位质量弦所受 外力，线力密度令一维波动方程Date12一维波动方程-非齐次方程-齐次方程忽略重力和外力作用 ：如考虑弦的重量：u(x)u+uu012T2T1xx+xBF沿x-方向，不出现平移沿垂直于x-轴方向（1）（2）因为：因为：所以有：所以有：讨论：Date13（二）输动问题（二）输动问题-扩散问题扩散问题扩散现象：系统的浓度系统的浓度 不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为扩散。扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律数学建模：建立空间各点浓度浓度u u( (x,y,z,tx,y,z,t) )的方程物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础粒子数守恒定律：单位时间内流
7、入某一体积的 粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积 内的单位时间内粒子数的增加量处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体任一小立方体 V V为研究对象，分析浓度变化规律。 Date14浓度不均匀: 用浓度梯度用浓度梯度 表示表示；扩散流强弱（强度）：用单位时间通 过单位面积的物质的量 表示；扩散（裴克）实验定律：扩散系数设定：处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体任一小立方体V V为研究对象 ，分析浓度变化规律。 扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定 律确定体元内粒子数：Date15考察沿考察沿x x- -方向扩散流情况：方向扩散流情况： 单位时间沿x-方向净
8、流入量同理沿y 和沿z方向净流入量由粒子数守恒定律，有负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反单位时间内向V的净流入量下面由粒子数守恒定律建立下面由粒子数守恒定律建立V V内粒子数变化规律。内粒子数变化规律。单位时间内V内粒子数的增加量Date16如果扩散是均匀的,即D是一常数，则可以令D=a2，则有代入扩散定律三维扩散方程三维扩散方程如果所研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关， 且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为如果所研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比， 即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为讨论：讨论
9、：Date17密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。有扩散源时系统的密度场满足非齐次扩散方程稳定状态：密度u 不随时间变化，则泊松方程无扩散源： F=0拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程: :稳定场问题稳定场问题Date18例例1 1 热传导热传导所要研究的物理量： 温度 物理规律：采用傅里叶实验定律热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。数学建模：傅里叶定律：温度不均匀: 用温度梯度 表示；传热的强弱即热流强度：用单位时间内通过单 位面积的热量 表示；设定：沿曲面法向流出热量：热传导系数热传导系数Date19有限时间内即
10、时刻t1到t2通过闭曲面S流入V的热量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分） 热场处理方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S包 围的体积元V（如图）。在S 上选取任一足够小的微面元dS，在此面 元范围内热流强度近似为常量。 那么在dt时间内从dS流入V的热量热量为( 向为正)：Date20流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量： 温度发生变化需要的热量(c比热容，质量密度)：热传导方程热传导方程热场热场如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者本质不同，但满
11、足同一微分方程者本质不同，但满足同一微分方程Date21例例2 2 静电场电势问题。 静电场电势问题。 介质方程:其中:高斯定理:环路定理:物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理 、环路定理和介质方程。数学建模：建立电势u(x,y,z)与电荷密度(x,y,z)的关系。由电场的高斯定理物理问题：在介电常数为的介质空间，存在电荷分布 (x,y,z) 激发电场 形成电势分布u(x,y,z)。Date22若空间无电荷，即电荷密度，上式成为 称这个方程为拉普拉斯方程. 由电场的环路定理，可知静电场是一个保守场.由保守 场的性质，引入电势引入电势u u,且电场是电势梯度的负值电场是电势梯度的负值
12、，即：进一步对电场取散度，有：泊松方程 设电势为:u(x,y,z)。Date23 7.1 3.4.Date247.2 7.2 定解条件定解条件数学物理方程的定解在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求即求u u( (x x, ,y y, ,z z, ,t t) )。1 1 数学物理方程数学物理方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定 方程。它反映了问题的共性。2 2 定解条件定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。Date25初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件A、 波动方程的
13、初始条件描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度（一）（一） 初始条件初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件Date26和 是空间坐标的函数注意注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是某一位置处的情况。例：一根长为l的弦，两端固定于0和l。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。lxl/2h解：初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形状如图所示,且弦处于静止状态，即有方程初始位移初始速度Date27（二）边界条件（二）边界条件定
14、义：系统的物理量在边界上具有的情况。 A.第一类（狄利克雷）边界条件给出未知函数在边界上的函数值。例2：两端固定的弦振动时的边界条件：和常见的线性边界条件分为三类：Date28例3：细杆热传导细杆在x=l端的温度随时间变化,设温度变化规律为f(t),边 界的数理方程细杆x=l端的温度处于恒温状态,边界的数理方程第一类边界条件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：Date29B.第二类（诺伊曼）边界条件例4：细杆热传导我们用傅里叶(热传导)定律来建立边界的数学物理方程. 傅里叶实验定律:单位时间内,通过单位面积的热流为给出未知函数在边界上的法线方向的导数之值。第二类边界条件的基本形式：第二类边界
15、条件的基本形式：细杆x=a端点绝热的边界条件：边界条件：设细杆沿x轴方向,则一维傅里叶实验定律改写为其中u是所在位置处物体的k是传热系数。细杆x=a端点有热流kf(t)流出的边界条件：边界条件：Date30（3）.第三类（混合）边界条件 牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位 表面流入周围介质的热流（表面流入周围介质的热流（即流出热流即流出热流）为）为式中式中u u是物体表面的温度，是物体表面的温度， 是周围介质的温度，是周围介质的温度，h h 是热交换系数。是热交换系数。在一维情况下， 在一维情况下，牛顿冷却定律简化为牛顿冷却定律简化为一维傅里叶实验定律先引入两个基本物理定律：Date31例5：写出导热细杆l端“自由”冷却的边界条件。根据热传导定律，在 x=l 处：负x方向正x方向在x=0 处：流出热流强度由牛顿冷却定律牛顿冷却定律，此流出热量与细杆和外界的温度差成正 比，即即：讨论：如图情况xDate32例6：细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力胡克定律：弹性力：则在端点这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。（三）衔接条件（三）衔接条件系统中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点)。如两节 具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某
