结构力学课件 结构的稳定计算

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1、第十二章 结构的稳定计算12-2 两类稳定问题计算简例12-1 两类稳定问题概述12-3 有限自由度体系的稳定静力法和能量法12-4 无限自由度体系的稳定静力法12-5 无限自由度体系的稳定能量法1结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算2 2前面的各个章节讨论了各类结构在外因作用下内力和位 移的计算方法。在结构设计中内力计算要确定结构是否 有足够的强度，位移计算要确定结构是否有足够的刚度 。 工程设计的实践证明，在不少情况下，仅以以上两种计 算，来判断结构的可靠性是不够的。对于由柔性杆件和 压弯杆件所组成的结构，例如，梁、桁架、拱、薄壁结 构等，尤其如此。即是说：结构

2、可能强度安全但是稳定 不安全。 从现在的结构设计的发展趋势看，趋向于轻质的大跨形 式(近代工程的优化设计)，对结构的稳定性要求非常严 格，结构设计必须考虑三个方面：强度、刚度和稳定。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算3 312-1 两类稳定问题概述在材料力学课中大家已经对“压杆的稳定问题”进行过讨 论，在此，我们对杆件结构的各种稳定问题作进一步的 讨论。在结构设计中，应当对结构进行强度验算和稳定验算。 强度验算是最基本的必不可少的，而稳定验算则是在某 些情况下显得重要。如薄壁结构(与厚壁结构相比)、高 强度材料的结构(与低强度

3、材料的结构砖石结构、混 凝土结构相比)、主要受压的结构(与主要受拉的结构相 比)容易丧失稳定，稳定验算对这些结构显得更为重要 。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算4 4一、结构的三种平衡状态结构的三种平衡状态(从稳定性角度考察)：稳定平衡状 态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。 解释：设结构处于某个平衡状态，受到轻微干扰而稍微 偏离其原来位置。 1、稳定平衡状态：当干扰消失后，如结构回到原来位 置，则原来的平衡状态称为稳定平衡状态。 2、不稳定平衡状态：当干扰消失后，结构继续偏离， 不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定平

4、衡 状态。 3、中性平衡状态：结构由稳定平衡到不稳定平衡过渡 的状态称为中性平衡状态。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算5 5二、结构稳定计算理论1 1、小挠度理论、小挠度理论 采用小挠度理论计算可以用比较简单的方法得到基本正 确的结论。工程上通常采用小挠度理论进行计算。 2 2、大挠度理论、大挠度理论 大挠度理论是比较复杂的理论，利用其计算可以得到更 为精确的结论。但是，计算的难度相当大，用到比较高 深的数学知识。 三、结构的失稳 结构失稳：随着荷载的增大，结构的原始平衡状态可能 由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始

5、平衡 状态丧失其稳定性，简称失稳。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算6 6失稳的两种基本形式：分支点失稳、极值点失稳。1 1、分支点失稳、分支点失稳(1) 基本情况：图a所示的简支压杆的完善体系(理想体 系)，杆件轴线是理想的直线(没有初曲率)，荷载FP是理 想的中心受压荷载(没有偏心)。(a)FPl/2l/2(2) P-曲线随着P的逐渐增大，P与中 间点挠度的关系曲线称为P -曲线(平衡路径)。见图 (b)制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算7 7(3)过程分

6、析 当FP1FPcr=2EI/l2时，原始的平衡形式不再是唯一的平 衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可处于 弯曲形式的平衡状态。亦即是说：这时存在两种形式的 平衡状态。 与此相应，在图b中有两条不同的FP-曲线：原始平衡 路径I(BC)和第二条平衡路径II(根据大挠度理论，由曲 线BD表示；如果采用小挠度理论进行近似计算，则曲 线BD退化为水平直线BD)。(b)FPC B AODD I(稳定)II(小挠度理论)II(大挠度理论)I(不稳定)FP1FP2 FPcr可以看出：这时原始 平衡状态(C点)是不稳 定的。即：若压杆受到干扰 而弯曲，则当干扰消 失后，压杆并不能回 到C点的原始平

7、衡状 态，而是继续弯曲， 直到D点对应的弯曲 形式的平衡状态为止 。所以，当 FP2FPcr=2EI/l2时， 在原始的平衡路径I上 ，点C对应的平衡状 态是不稳定的。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算9 9(b)FPC B AODD I(稳定)II(小挠度理论)II(大挠度理论)I(不稳定)FP1FP2 FPcr分支点：两条平衡路径I和II的交点称为分支点。分支点的意义：分支点B将原始平衡路径I分为两段： OB段上的点属于稳定平衡。BC段上的点属于不稳定平 衡。(4) 分支点即：在分支点B上原始 平衡路径I和新平衡路 径II

8、同时并存，出现平 衡形式的二重性，原始 平衡路径I由稳定平衡 转为不稳定平衡，出现 稳定性的转变。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算1010分支点失稳：具有原始平衡路径由稳定平衡转为不稳定 平衡特征的失稳形式称为分支点失稳。 临界荷载和临界状态：分支点对应的荷载称为临界荷载 ，分支点对应的状态称为临界状态。(5) 分支点失稳现象举例(见下图a、b、c)特征：在分支点P=Pcr处，原始平衡形式由稳定转为不 稳定，并出现新的平衡形式。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定

9、计算1111(c) FPcr(a) 承受结点荷载的门式刚架：在原始平衡形式中， 各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中， 刚架产生侧移，出现弯曲变形。(a)FPcrFPcr(b)qcr(b) 承受水压力的圆拱，在原始平衡形式中，拱单纯 受压，拱轴保持为圆形；在新的平衡形式中，拱轴不再 保持为圆形，出现压弯组合变形。(c) 端部受荷载作用的悬臂窄条梁，在原始平衡形式 中，梁处于平面弯曲状态；在新的平衡形式中，梁处于 斜弯曲和扭转状态。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算12122 2、极值点失稳、极值点失稳(1) 基本情况

10、：非完善体系。压杆具有初曲率和承受偏 心荷载(图a、b)。(a)FP(b)FPFPB (极值点)FPeACFPcrO (c)非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态。(2) FP-曲线小挠度理论：其FP- 曲线见图c的曲线OA。初 始阶段挠度增加较慢，以 后逐渐变快，当FP接近中 心压杆的欧拉临界荷载FPe 时，挠度趋于无穷大。 制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算1313按大挠度理论：其FP-曲线见图c的曲线OBC。(3) 极值点和极值点失稳B点为极值点，在极值点荷载达到极大值。在极值点前的曲 线段OB，其平衡状态是稳定的；在

11、极值点后的曲线段BC， 其相应的荷载反而下降，平衡状态是不稳定的；在极值点 处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。FPB (极值点)FPeACFPcrO (c)极值点失稳：在极值点处，平衡 路径由稳定平衡转变为不稳定平衡的失 稳形式称为极值点失稳。极值点失稳的特征：平衡形式不 会出现分支现象，而其FP-曲线具有极 值点。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算1414一般说来，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。(4)特例扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。图a所示的扁桁架，矢高为f，高跨比f/lk/l，则关系曲线如图c所示。

12、当为任意非零值时，势能EP恒为负值，即 势能是负定的。当体系处于原始平衡状态 时，势能EP为极大，因而原始平衡状态是 不稳定平衡状态。(c)EPOFPFPcr因此，临界状态的的能量特征还可表述为：在荷载 达到临界值的前后，势能EP由正定过渡到非正定，对于 单自由度体系，则由正定过渡到负定。例12-1-1 图a所示是一个具有两个变形自由度的体 系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰结点B和C 处为弹性支承，其刚度系数都为k。体系在D端有压力 FP作用。试用两种方法求其临界荷载FPcr。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算363

13、6例12-1-1 图a所示是一个具有两个变形自由度的体 系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰结点B和C 处为弹性支承，其刚度系数都为k。体系在D端有压力 FP作用。试用两种方法求其临界荷载FPcr。(a)ABCDFPlllkk(b)ABCD FPFxABCDy1y2 FR2FR1FyAFyD解：(1) (1) 静力法静力法设体系由原始平衡状态(水平 位置)转到任意变形状态(图b) ，设B点和C点的竖向位移分 别为y1和y2，相应的支座反力 分别为同时，A点和D点的支座反力为注：对B点左侧取矩求FyA；对C点右侧取矩求FyD制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结

14、构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算3737变形状态的平衡条件为(C左)(B右)即(a)式(a)是关于y1和y2的齐次方程。如果系数行列式不等于零，即则零解(即y1和y2全为零)是齐次方程(a)的唯一解。也就 是说，原始平衡形式是唯一的平衡形式。制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算3838如果系数行列式等于零，即(b)则除零解外，齐次方程(a)还有非零解。也就是说 ，除原始平衡形式外，体系还存在新的平衡形式。这样 ，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态的 静力特征。方程(b)就是稳定问题的特征方程。展开式 (b)，得由此

15、解得两个特征值：制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算3939其中最小的特征值叫做临界荷载，即将特征值代回式(a)，可得y1和y2的比值。这时位移 y1、y2组成的向量称为特征向量。如将FP=kl/3代回，则得y1=-y2，相应的变形曲线如 下图a所示。如将FP=kl代回，则得y1=y2，相应的变形曲线如下 图b所示。(a)y1FP=kl/3 y2=-y1(b)y1FP=kly2=y1制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算4040(2) (2) 能量法能量法讨论临界荷载的能量特征。图b中D点的水平位移为(b)ABCD FPFxABCDy1y2 FR2FR1FyAFyD(c)弹性支座的应变能为(d)荷载势能为(e)体系的势能为制作：周书敬制作：周书敬 郭延华郭延华结构力学结构力学第十一章 结构的稳定计算第十一章 结构的稳定计算4141(f)即应用势能驻值条件：得：(g)式(g)就是前面导出的式(a)。势能驻值条件等价于 用位移表示的平衡方程。 能量法求多自由度体系临界荷载FPcr的步骤： (1) 写出势能表达式，建立势能驻值条件。 (2) 应用位移有非零解的条件，得出特征方程，求 出荷载的特征值FPi(i=1、