计算机控制系统-刘士荣第4章

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1、计算机控制系统计算机控制系统第第4 4章章 计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的理论基础如果系统中有一处或多处采样开关，则如果系统中有一处或多处采样开关，则 该系统称为采样系统，如图该系统称为采样系统，如图4-14-1所示，图中的所示，图中的 S S即为采样开关。即为采样开关。 图4-1 采样控制系统计算机控制系统则属于采样控制系统，计算机控制系统则属于采样控制系统， 一个典型的计算机控制系统如图一个典型的计算机控制系统如图4-24-2所示，注所示，注 意，其中采样开关的功能是通过意，其中采样开关的功能是通过A/DA/D转换器来转换器来 完成的。完成的。 图4-2 计算机控制系统4.1 4

2、.1 信号的采样与保持信号的采样与保持 4.1.1 4.1.1 采样过程采样过程采样过程可以用一个周期性闭合的采样采样过程可以用一个周期性闭合的采样 开关开关S S来表示，如图来表示，如图4-34-3所示。假设采样开关所示。假设采样开关 每隔每隔T T秒闭合一次，秒闭合一次，T T称为采样周期，闭合的称为采样周期，闭合的 持续时间为持续时间为 。采样器的输入为连续信号。采样器的输入为连续信号e(t)e(t) ，输出，输出e*(t) e*(t) 为宽度等于的调幅脉冲序列。为宽度等于的调幅脉冲序列。 图4-3 实际采样过程采样开关的闭合时间采样开关的闭合时间 非常小，一般远小非常小，一般远小 于采

3、样周期于采样周期T T 和系统连续部分的最大时间常和系统连续部分的最大时间常 数，因此在分析时，可以认为数，因此在分析时，可以认为=0=0。 图4-4 理想采样过程量化过程可用图量化过程可用图4-54-5说明。说明。 图4-5 量化过程调制后的采样信号可表示为调制后的采样信号可表示为 也可写成4.1.2 4.1.2 采样过程的数学描述及特性分析采样过程的数学描述及特性分析(4-2)(4-2) (4-3)(4-3) 量化单位定义为量化单位定义为A/D A/D转换器的输出信号转换器的输出信号 (4-4)(4-4) (4-5)(4-5) 图4-6 零阶保持器的输入和输出信号4.1.3 4.1.3 信

4、号保持信号保持零阶保持器的单位脉冲响应如图4-7所示，可表示为 图4-7 零阶保持器的单位脉冲响应(4-6)(4-6) (4-7)(4-7) 图4-8 零阶保持器的幅频特性和相频特性采样定理 如果被采样的连续信号e(t) 的频谱为有限宽，且频谱的最大宽度为m ，又如果采样角频率s2m ，并且采样后再加理想滤波器，则连续信号e(t)可以不失真地恢复出来。其中s2/T。4.1.4 4.1.4 采样定理采样定理图4-9 连续信号频谱图4-10 采样信号频谱（s2m ）可以理解为 |E*(j)| 和 |H(j)| 相“乘”，其“积”正好等于|E(j)|图4-11 理想滤波器的频率特性4.2 4.2 Z

5、 Z变换理论变换理论 4.2.1 4.2.1 Z Z变换定义变换定义 (4-11)(4-11) (4-12)(4-12) (4-13)(4-13) (4-14)(4-14) (4-15)(4-15) (4-16)(4-16) (4-17)(4-17) 1. 线性定理4.2.2 4.2.2 Z Z变换性质变换性质 (4-18)(4-18) 2. 实数位移定理(4-19)(4-19) (4-20)(4-20) 3. 复数位移定理4. 初值定理5. 终值定理(4-21)(4-21) (4-22)(4-22) (4-23)(4-23) 6. 卷积定理(4-24)(4-24) (4-25)(4-25)

6、4.2.3 4.2.3 Z Z变换方法变换方法例4-1 求单位阶跃函数的Z变换。 解 单位阶跃函数的采样函数为则 将代入式(4-14)，可得1. 级数求和法例4-2 求 的Z变换。 解 ， 根据式(4-14)，可得则两边同乘 得两式相减，可以求得 2部分分式法(4-27)(4-27) (4-28)(4-28) 例4-3 设连续函数f(t) 的拉氏变换式为 ，求其Z变换。 解 将F(s) 根展开为部分分式由例4-1和例4-2可知 例4-4 求 的Z变换。 解 求F(s)并将其展开为部分分式4.2.4 4.2.4 Z Z反变换反变换(4-29)(4-29) 1幂级数法例4-5 已知 ，求f*(t)

7、 解 F(z)可以写为 例4-6 用部分分式法求上例中F(z)的Z反变换式解 将展开成部分分式为查表得 2部分分式法3留数法 由复变函数理论可知 res 表示 在F(z) 的极点上的留数。一阶极点的留数为q 阶重极点的留数为 (4-30)(4-30) (4-31)(4-31) (4-32)(4-32) 例4-7 用留数法求 的Z反变换。 解 根据式(4-26)有 例4-8 用留数法求 的Z反变换。解 由于F(z) 在z=1处有二重极点，因此4.3 4.3 计算机控制系统的数学描述计算机控制系统的数学描述4.3.1 4.3.1 差分方程及其求解差分方程及其求解 求对于单输入、单输出线性定常系统，

8、采 用下列微分方程来描述： 线性离散系统，其输入与输出之间可用线性常系数差分方程描述，即 (4-34)(4-34) 1. 迭代法例4-9 已知差分方程输入序列为初始条件为c(0)=2，试用迭代法求解差分方程。解 逐步以k=1,2,3,，代入差分方程，则有迭代法可以求出输出序列，但不是数学解析式。迭代法的优点是便于用计算机求解 2. Z变换法在离散系统中用Z变换求解差分方程，也 使得求解运算变成代数运算，大大简化和方便 了离散系统的分析和综合。用Z变换求解差分方程，主要用到了Z变换 的实数位移定理 例4-10 求解差分方程解 对差分方程作Z变换代入初始条件得4.3.2 4.3.2 脉冲传递函数脉

9、冲传递函数1. 脉冲传递函数的基本概念对于图4-12a所示的采样系统，脉冲传递函数为 图4-12 采样系统(4-35)(4-35) 系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g(t) 经过采样后离散信号g*(t) 的Z变换，可表示为 脉冲传递函数还可表示为 (4-36)(4-36) 图4-13 两种串联结构2. 采样系统的开环脉冲传递函数 在图4-13a所示的开环系统中，两个串联环节之间有采样开关存在，这时 (4-37)(4-37) 在图4-13b所示的系统中，两个串联环节之间没有采样开关隔离。这时系统的开环脉冲传递 函数为 (4-38)(4-38) 图4-14 闭环采样控制系统3. 采样系统的

10、闭环脉冲传递函数 闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数为与线性连续系统类似，闭环脉冲传递函数 的分母1+GH(z)即为闭环采样控制系统的特征 多项式。(4-39)(4-39) 图4-15 具有数字控制器的采样系统(4-40)(4-40) 图4-16 有干扰信号的采样系统(4-41)(4-41) 4.4 4.4 计算机控制系统的分析计算机控制系统的分析4.4.1 4.4.1 计算机控制系统的稳定性分析计算机控制系统的稳定性分析 S平面和Z平面这两个复平面的关系复变量z和s的关系为 其中 T为采样周期。则所以图4-17 s平面上虚轴在Z平面上的映象系统的特征根为 即为闭环传递函数的极点。根据以上分析

11、可知，闭环采样系统稳定的充分必要条件是，系统特征方程的 所有根均分布在Z平面的单位圆内，或者所有根的模均小于1，即(4-42)(4-42) 对于W平面上的虚轴，实部u=0，即这就是Z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方 程。 (4-44)(4-44) (4-43)(4-43) 例4-13 判断图4-18所示系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性。图4-18 采样系统解 开环脉冲传递函数为 闭环传递函数为闭环系统的特征方程为 当T=1s时，系统的特征方程为 因为方程是二阶，故直接解得极点为由于极点都在单位圆内，所以系统稳定。 当T=4s时，系统的特征方程为闭环传递函数为解得极点为 有一个极点在

12、单位圆外，所以系统不稳定。可以看出，一个原来稳定的系统，如果加长采样 周期，超过一定程度后，系统就会不稳定。通常，T越 大，系统的稳定性就越差。c1=1 1 0.632roots(c1)c2=1 2 0.927roots(c2)MATLAB程序 4.4.2 4.4.2 计算机控制系统的稳态误差分析计算机控制系统的稳态误差分析 图4-20 单位反馈采样控制系统(4-45)(4-45) 稳态位置误差系数 稳态速度误差系数稳态加速度误差系数(4-46)(4-46) (4-47)(4-47) (4-48)(4-48) 表4-2 单位反馈离散系统的稳态误差 系统型别位置误差 r(t)=1(t)速度误差

13、r(t)=t加速度误差 r(t)=t2/20型型0型004.4.3 4.4.3 计算机控制系统的性能指标计算机控制系统的性能指标 如果可以求出离散系统的闭环传递函数 Gc(z)=C(z)/R(z)，其中R(z)=z/(z-1)为单位阶跃函数， 则系统输出量的Z变换函数将上式展成幂级数，通过Z反变换，可以求出输出信号 的脉冲序列c(k)或c*(t)。由于离散系统的时域指标与连 续系统相同，故根据单位阶跃响应曲线c(k)可以方便地 分析离散系统的动态性能。4.5 4.5 连续系统的离散化连续系统的离散化 4.5.1 4.5.1 连续系统的离散化方法及特点连续系统的离散化方法及特点 (1) 双线性变

14、换法 由z变换得定义可知， ，利用级数展开可得(4-49)(4-49) (4-50)(4-50) (2) 前向差分法(4-51)(4-51) (4-52)(4-52) (3) 后向差分法(4-53)(4-53) (4-54)(4-54) 4.5.2 4.5.2 MATLABMATLAB在连续域离散域变换中的应用在连续域离散域变换中的应用 MATLAB实现提供了符号运算工具箱(Symbolic Math Toolbox)，可方便地进行Z变换和Z反变换进行Z变换的函数是ztrans进行Z反变换的函数是iztrans。函数调用格式函数说明c2dsysd=c2d(sysc,Ts, method)连续时间LTI系统模型转换成离散时间系 统模型c2dmAd,Bd,Cd,Dd=2dm(A,B,C,D,Ts, method) numd,dend=c2dm(num,den,Ts, method)连续时间LTI系统状态空间模型或传递函 数模型转换成离散时间系统模型d2csysc=d2c(sysd, method)离散时间LTI系统模型转换成连续时间系 统模型d2cmA,B,C,D=d2cm(Ad