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1、第二节 可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示 可分离变量微分方程 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 齐次方程 例 7 例 8 例 9 例 10 例 11 可化为齐次方程的微分方程 例 12 例 13 例 14 例 15 内容小结 课堂练习 习题 8-2内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程,)(yxFd如果其右端函数能分解成 ，即有(,gf. (2.1)(yx则称方程(2.1)为可分离变
2、量的微分方程，其中 都是连续函数. 根据这种方程的)(,xf特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.二、齐次方程：形如(2.8)xyfd的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程.三、可化为齐次方程的方程：对于形如 2211cybxafdy的方程，先求出两条直线,011cybxa022的交点 ，然后作平移变换),(0yx 即 0yYxX0yYxX这时， ，于是，原方程就化为齐次方程dxy,21YbXafdY例题选讲可分离变量的微分方程例 1（E01）求微分方程 的通解.xyd2解 分离变量得 两端积分得 yxd212|lnCxy从而 ,记 则得到题设方程的通解
3、 2112xCxeey,1Ce.2e例 2（E02）求微分方程 的通解.ydxyd2解 先合并 及 的各项,得dxy)1()(设 分离变量得 ,01,2y dxy2两端积分 得 dxy2 |ln|1|l|ln11C于是 记 则得到题设方程的通解 21)(Cy,21C .)1(22xy注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定 的前提0yg下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使 的特解. 但是, 有时如果我们扩大0)(yg任意常数 C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例 2 中，我们得到的通解中应该 ，但这样方程就失去特解 ，而如果允许 ，则 仍包
4、含在通解01yC1y中.22)1(xy例 3 已知 当 时，求,tan2cos)(sin22xxf 10).(xf解 设 则,iy ,i1y.1sincositan222 yxx所以原方程变为 即,1)(yyf .)(f所以 )(f2d2,)ln(Cy故 Cxxf )1ln()( ).10(x例 4 设一物体的温度为 100，将其放置在空气温度为 20的环境中冷却. 试求物体温度随时间 的变化规律.t解 设物体的温度 与时间 的函数关系为 在上节的例 1 中我们已经建立了该Tt ),(tT问题的数学模型:10|)2(tTkd(1其中 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得)0(k
5、;20kdtT两边积分 得 (其中 为任意常数) ，,21kdtT1|20|lnCkt即 (其中 ).ttCkt ee110 1e从而 再将条件(2)代入,得t ,802于是，所求规律为 .802kteT注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例 5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的 37开始下降，假设两个小时后尸体温度变为 35，并且假定周围空气的温度保持 20不变，试求出尸体温度 随时间 的变化规律。又如果尸体被发现时的温度是 30，时间是下午 4 点整，
6、Tt那么谋杀是何时发生的?解 根据物体冷却的数学模型，有.37)0(,2Tkdt其中 是常数，分离变量并求解得0k，ktCe2代入初值条件 ，可求得 ，于是得该初值问题的解为37)(T17 。kteT1720为求出 值，根据两小时后尸体温度为 35这一条件，由k，235k求得 ，于是温度函数为063.，teT063.17将 代入上式求解 ，有Tt，即得 （小时） 。t063.4.8t于是，可以判定谋杀发生在下午 4 点尸体被发现前的 8.4 小时，即 8 小时 24 分钟，所以谋杀是在上午 7 点 36 分发生的。例 6（E04）某公司 t 年净资产有 (百万元), 并且资产本身以每年 5%的
7、速度连续增)tW长, 同时该公司每年要以 300 百万元的数额连续支付职工工资.(1) 给出描述净资产 的微分方程;)(t(2) 求解方程, 这时假设初始净资产为 ;0(3) 讨论在 三种情况下, 变化特点 .760,50W)(tW解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度资产本身增长速度职工工资支付速度得到所求微分方程.3.dt(2) 分离变量，得.056dtW两边积分，得 为正常数） ，于是1(ln|lnC或 ,|60| 05.1teC).105.et将 代入，得方程通解：)(.)60(5teW上式推导过程中 当 时， 知,0dt,)(6005.te,6W通常称为平衡解，仍包含在通解表达式
8、中.(3) 由通解表达式可知，当 百万元时，净资产额单调递减，公司将在第 36 年破产；0W当 百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在 600 百万元不变；当 百万60W 70W元时，公司净资产将按指数不断增大.齐次方程例 7（E05）求解微分方程 满足初始条件 的特解.xydxytan61xy解 题设方程为齐次方程,设 则,u,du代入原方程得 分离变量得,tandxu.1cotx两边积分得 |l|l|sin|lC,sinCu将 回代，则得到题设方程的通解为xyu .xy利用初始条件 得到 从而所求题设方程的特解为,6/|1x.21 .21sinxy例 8 求解微分方程 .22xydyxd解
9、 原方程变形为 22yxd,12xy令 则 方程化为,xyu,xud,2udx分离变量得 1212,两边积分得 ,lnl)ln(3)1l( Cxuu整理得 .)2(/3Cx所求微分方程的解为 .)2()(32xyy例 9（E06）求解微分方程 .2dy解 原方程变形为 （齐次方程）2xyd,1令 则 故原方程变为 即,xyu,u,dxuy,12udx.1udx分离变量得 两边积分得 或1. |ln|lC.|lC回代 便得所给方程的通解为 ,xyu .|lnxy例 10 求下列微分方程的通解:.0)l(nydx解 原方程变形为 令 则,y,xu,dxuy代入原方程并整理 .)1(lnu两边积分得
10、 即,lnl Cx).1(lnuy变量回代得所求通解 y.l例 11 设商品 A 和商品 B 的售价分别为 已知价格 与 相关, 且价格 相对,21P12P1P的弹性为 求 与 的函数关系式.2P,121Pd2解 所给方程为齐次方程，整理，得.1212Pd令 则 ,21Pu.2uPu分离变量，得 ;21Pdu两边积分，得 .)ln(21C将 回代，则得到所求通解(即 与 的函数关系式)21Pu12为任意正常数).21212(CPe可化为齐次方程的方程例 12（E07）求 的通解.31yxd解 直线 和直线 的交点是 因此作变换003yx),21(代入题设方程,得.2,1YyXxYXdXY1令
11、则 代入上式,得,u,udu,1udu分离变量,得 两边积分,得ln|l211C 12ln|l|ln2CX即 回代得XYu,2YX再将 回代，并整理所求题设方程的通解,xy .622yxyx例 13（E08）利用变量代换法求方程 的通解.2)(ydx解 令 则 代入原方程得,uyx,1xd,1u分离变量得 两边积分得 回代得,12 ,arctnCxu,)arctn(Cxy故原方程的通解为 .)tan(Cxy例 14 求微分方程 的通解.)2(t1y解 令 则 代入原方程得,2yxu,dxu即d2tan1,tan12u.sec2udx分离变量得 或xu2sec.cosxu两端积分得 即,in1C ,)2()(2in4Cxyy故所求通解为 ).2si(42yxxy例 15 求下列微分方程的通解.2222xyeyxy解 令 则 原方程化为,2yxu,2dxydxu.xued再令 则 代入上式，并整理得,v,vd ,ve两边积分得 变量还原得通解,lnCxev.ln2Cxexy课堂练习1.求微分方程 的通解.0)1()1(22dyxdyx2.求微分方程 的通解.coscs3.方程 是否为齐次方程?)()()(202xyttyx
