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1、 第八章 8.38.3.1、全微分全微分与链式法则8.3.2、链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数 y = f (x) 的微分常数A与x 无关,仅与x 有关关于x 的高阶无穷小 对 x 的偏增量 对 x 的偏微分 对 y 的偏增量 对 y 的偏微分 8.3.1、全微分引例: 一块长方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了设面积为 A , 则 面积的增量为关于x,y的 线性主部故 称为函数在 的全微分变到分别由其边长机动 目录 上页 下页 返回 结束 变到 多少?时 比 较高阶无穷小定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示
2、成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，处全增量则称此函数在D 内可微.一般地机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微由微分定义 :得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数同样可证证: 因函数在点(x, y) 可微,
3、故 必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 反例: 函数易知 但注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:因此,函数在点 (0,0) 不可微 .定理2 (充分条件)（证略）若函数的偏导数则函数在该点可微分.于是，全微分例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解:习惯上,分别记为例2. 计算函数的全微分. 解: 例3.计算的近似值. 解: 设,则取则内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:偏导数存在函数可微偏导数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元复合函数求导法则本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则8.3.2、多元复
4、合函数求导的链式法则定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式 )(t0 时,根式前加“” 号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)当它们都具有可微条件时, 有注意: 这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 口诀 : 连线相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导例1. 设解:机动 目录 上页 下页 返回 结
5、束 例2. 设 求全导数解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 的偏导数.解: 设于是例4.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.8.3.3 一个方程所确定的隐函数及其导数定理1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下 ： 具有连续的偏
6、导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件 导数两边对 x 求导在的某邻域内则若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :则还可求隐函数的 例4. 求由方程解法一 令所确定的y是x的函数的 导数.解法二 方程两边对 x 求导定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确两边对 x 求偏导同样可得则例5. 设解法1 利用隐函数求导再对 x 求导解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 隐函数求导(1) (2) 时, 时, 作业 P117 1(2),(6); 8; 9;10; 17；18. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 网赚论坛 http:/ 台槱浳歃
