《有限元基础理论教程 lecture03》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限元基础理论教程 lecture03（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 弹性力学平面问题的有限单元法2.1弹性力学平面问题简介 2.2单元位移函数 2.3单元载荷移置 2.4单元刚度矩阵 2.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 2.6整体分析 2.7约束条件的处理 2.8整体刚度矩阵的特点与存储方法 2.9方程组解法2.1弹性力学平面问题简介 弹性力学研究物体在约束和外载荷作用下，在 弹性阶段的内力和变形分布规律。 弹性力学：研究对象是复杂形状弹性体，不需 要关于变形状态的假定。 材料力学：研究对象是长度远远大于高度和宽 度的构件，梁弯曲的平面假定。弹性力学的基本假定 完全弹性(Elasticity)：物体在受到外载荷作用 下产生变形，当外载荷被移去后，物体变形完
2、 全恢复的性质。 连续：物体所占的空间被介质充满，不考虑材 料缺陷，在物体内的物理量是连续的。 均匀 各向同性 小位移和小变形：物体所有点的位移远远小于 物体的几何尺寸。2.1.1基本变量弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位 移、应变。 体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性 力。 面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、 流体压力。位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移， 用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示， 沿坐标轴正方向为正。应力(Stress) : 物体受到约束和外力作用，其内 部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。应力S在其作用截面 上的法向分量为正 应
3、力，切向分量称为剪应 力，用表示。通过P点的平面可以任意选取，那么如何描述一 点处的应力状态？为分析点p的应力状态，在p点取出的一个平行六 面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。用六面体 表面的应力分量来表示p点的应力状态。物体内任意一点的应力状态可以用平行六面体 上的六个独立应力分量来表示：剪应力互等应力分量的下标约定如下：第一个下标表示应力的作用面的法线方向，第二个下标表示应力的作用方向。应力分量的方向定义如下：如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这 个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这 个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。 用六个应力分
4、量可以表示经过P点的任意斜面上 的应力。应力莫尔圆物体内一点的应力分量数值与 坐标系方向的定义相关，但是 该点的三个主应力值不变。一点的应力大小或应力强度应该如何表示？显然不能用应力分量来表示，也不能用主应力表示。 用等效应力(Equivalent stress)表示物体内某个点的应 力大小。等效应力定义为，单向拉应力状态：物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 应变可以理解为相对变形，无量纲。由变形所产生的线段的单位长度的伸缩，称为正 应变，用表示，以伸长为正。两个垂直线段之间的直角改变，用弧度表示，称 为剪应变，用表示，以角度变小为正。为定义物体内任意一点P的变形，在P点沿坐标轴方 向
5、取三个微小线段PA、PB、PC。与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以 用六个应变分量表示。线段PA的正应变线段PB的正应变线段PC的正应变线段PA、PB夹角的改变线段PB、PC夹角的改变线段PC、PA夹角的改变2.1.2平面应力和平面应变问题弹性体在满足一定条件时，其变形和应 力的分布规律可以用在某一平面内的变 形和应力的分布规律来代替，这类问题 称为平面问题。 弹性力学中的平面问题分为平面应力问 题和平面应变问题两类。平面应力问题设有很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板 面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面 且不沿厚度变化。设板的厚度为t，在板的上下面上的边界条件：由于平板很
6、薄，外力不沿厚度变化，因此在整块 板上应力分量不沿厚度变化，未知的应力分量如下：平面应变问题设有很长的柱形体，支承情况不沿长度变化， 在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化 的面力，体力也如此分布。挡土墙就很接近平 面应变问题。以柱体的任一横截面为XY平面，任一纵线为Z轴 。假定该柱体为无限长，则任一截面都可以看作 对称面。由对称性可得，未知的应力分量如下：在z方向上应力z保持自平衡。2.1.3平衡方程在物体中取出一个单位厚度的微小单元体建立力 的平衡关系。单元体的楞边与坐标轴平行，x方向尺寸dx，y方向尺寸dy，z方向为单位长度 。平衡方程代表了力的平衡关系，建立了 应力分量和体力分量之间的关系。2.1.4几何方程物体的变形可以用位移来表示，几何方程表 示位移和变形之间的关系。P点的位移为 ，A点位移为， B点位移为， 根据小变形假定和应变的定义 ，由位移计算出应变。几何方程为，刚体位移由位移u=0，v=0可以得到应变分量为零 ，反过来，应变分量为零则位移分量不 一定为零。应变分量为零时的位移称为 刚体位移。刚体位移（续）由三个应变分量均为零可得，其中c为常数分别积分可得，以上形式的位移函数对应怎样的物体移动方式？
