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1、本构方程和NS方程粘性流体动力学基础本构方程及N-S方程李连侠水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月本构方程和NS方程粘性流体动力学基础内容提要 流体运动分析及理想流体基本方程 真实流体受力分析 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程本构方程和NS方程粘性流体动力学基础流体质点运动的分析 分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的 基础。 流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动 形式有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。 实际运动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动 、线变形、角变形及旋转四种基本形式所
2、组成。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团 。由于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间 间隔后，该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四 边形。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速分量分别为：微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础平移运动速度 微团上
3、各点公有的分速度 ux 和uy ，使它 们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动 一距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为 流体微团的平移运动速度。线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速度差为 ，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。；角变形速度：直角边 A
4、MC （或BMD）与对角线 EMF 的 夹角的变形速度本构方程和NS方程粘性流体动力学基础亥姆霍兹速度分解定理整理推 广得本构方程和NS方程粘性流体动力学基础微元体及其表面的质量通量微元体及其表面的质量通量微元体内的 质量变化率输入微元体 的质量流量质量守恒质量守恒直角坐标系中的连续性方程输出微元体 的质量流量yxzdzdxdy不可压缩流体连续性微分方程本构方程和NS方程粘性流体动力学基础1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的 质量差：Y方向： ； Z方向：2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础3、微元体内的质量变化：
5、从而有：或： 连续性方程连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。矢量形式：（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）本构方程和NS方程粘性流体动力学基础上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流 入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。适用范围：恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。一维流动的连续方程若流体不可压缩：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础理想流体的运动微分方程理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定
6、律加以推导。 l 受力分析：1、质量力：2、表面力：fxdxdydz切向应力0（理想流体）法向应力压强x轴正方向x轴正方向x轴负方向本构方程和NS方程粘性流体动力学基础理想流体的运动微分方程根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程理想流体的运动微分方程即欧拉运动微分方程本构方程和NS方程粘性流体动力学基础粘性流体的运动微分方程以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写 为如下的矢量形式：这里 ：是流体微团的加速度，微分符号：称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性 质时间的变化率。 (1)(2)(3)本构方程和NS方程粘性流体动力学基础应力状态及切应力互等定律yxz微元体上微元体上X X和和
7、Z Z方向的表面力方向的表面力粘性流场中任意一点的应力有粘性流场中任意一点的应力有9 9 个分量个分量，包括，包括3 3个正应力个正应力分量和分量和 6 6个切应力分量个切应力分量：应力状态：切应力互等定律在在6 6个个切应力分量中，互换下标切应力分量中，互换下标 的每一对切应力是相等的。的每一对切应力是相等的。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础微元体表面力的总力分量X方向的表面力：Y方向的表面力：Z方向的表面力：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础动量流量及动量变化率yxzdzdxdy动量在微元体表面的输入与输出动量在微元体表面的输入与输出动量流量动量通量动量流量动量流量x流通面积图中标注
8、的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向x方向，即 分速度vx的方向。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础x方向：输入输出微元体的动量流量y方向：z方向：微元体内的动量变化率x方向：y方向：z方向：流体的瞬时质量为X方向的瞬时动量为本构方程和NS方程粘性流体动力学基础x方向的运动方程：以应力表示的运动方程y方向的运动方程：z方向的运动方程：注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础方程的物理意义：方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点 加速度的三个分量；方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和
9、体 积力在各坐标上的分量。方程可简略表示成：这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律本构方程和NS方程粘性流体动力学基础粘性流体运动微分方程以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。NavierStokes方程对一维流动问题：补充方程：牛顿剪切定律补充方程：牛顿剪切定律对粘性流体流动问题：补充方程：广义的牛顿剪切定律补充方程：广义的牛顿剪切定律 即：即：牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程目的将将应力应力从运动方程中从运动方程中消去消去，得到，得到 由由速度分量和压力速度分量和压力表示的粘性流表示的粘性流 体运动微分方程，即体运动微分方程，即N-
10、SN-S方程方程。关键：寻求 流体应力与 变形速率之 间的关系本构方程和NS方程粘性流体动力学基础牛顿流体的本构方程引入的基本假设：为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个 基本假设： 应力与变形速率成线性关系; 应力与变形速率之间的关系各向同性； 静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力本构方程和NS方程粘性流体动力学基础牛顿流体的本构方程：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础本构方程的讨论：正应力中的粘性应力：流体正应力与三个速度偏导数有关流体正应力与三个速度偏导数有关 ( (即即: :线变形率线变形率) )，同固体力学中的虎，同固体力学中的虎 克定律。克定律。线变形
11、率与流体流动：从流体流动角度看，从流体流动角度看，线变形率线变形率的正负的正负 反映了流体的流动是反映了流体的流动是加速还是减速加速还是减速； 体变形率体变形率的正负反映了流动过程中的正负反映了流动过程中流流 体体积体体积是增加还是减少。是增加还是减少。正应力与线变形速率：附加粘性正应力附加粘性正应力附加粘性正应力的产生是附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。速度沿流动方向的变化所导致的。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础正应力与压力：由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等 于正应力值。但有：于正应力值。但有：这
12、说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：流体流体切应力切应力与与角变形率角变形率相关。相关。牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础流体运动微分方程NavierStokes方程适用于牛顿流体本构方程和NS方程粘性流体动力学基础常见条件下NS方程的表达形式：适用于牛顿流体常粘度条件下NS方程：矢量形式：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础适用于牛顿流体不可压缩流体的NS方程：矢量形式：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础常粘度条件下不可压缩流体的
13、NS方程：矢量形式：非定常项 定常流动为0 静止流场为0对流项 静止流场为0 蠕变流时 0单位质量流体 的体积力单位质量流体 的压力差扩散项（粘性力项） 对静止或理想流体为0 高速非边界层问题0本构方程和NS方程粘性流体动力学基础流动微分方程的应用求解步骤(1)根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获 得针对具体问题的微分方程或方程组。(2)提出相关的初始条件和边界条件。初始条件：非稳态问题边界条件固壁流体边界：流体具有粘性，在与壁面接 触处流体速度为零。液体气体边界：对非高速流，气液界面上， 液相速度梯度为零。 液体液体边界：液液界面两侧的速度或切应 力相等。本构方程和NS方程粘性流体动
14、力学基础广义牛顿粘性应力公式粘性流体动力学基本方程一、应力张量分析二、变形速率张量三、本构方程四、连续方程六、能量方程五、运动方程七、方程组的封闭性本构方程和NS方程粘性流体动力学基础广义牛顿粘性应力公式 在流体作直线层流运动的条件下，我们可以直接由试 验得到切应力与变形速率之间的关系式。 在流体作非直线层流运动的条件下，并不能直接由试 验给出应力与变形速率之间的一般关系式。为了得到这 样的关系式，必须对粘性流体中的应力性质作仔细的分 析。 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础一、应力张量分析 运动流体中任一点的应力状态，可以由九个分量来表 示，这九个应力分量组成一个二阶对称张量 分别为与坐标
15、轴x，y，z相垂直的平面上的应力 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础 任意平面上的应力可表示为+n为任意平面的法向单位向量 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础 为便于书写，我们规定：分别用e1、e2、e3代替i、j、 k，带有下标的量的下标分别用i=1，2，3代替x,y,z。并 且遵循爱因斯坦符号算法规则：一项中下标符号重复的 量，表示此项是变换下标后的各项相加。 例如： 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础 在静止流体中或理想流体中，过一点的任意平面的法 向应力的方向，都与该平面的单位法线向量n的方向相 反，且法向应力的数值p与n无关，即 式中，p只是坐标位置及时间的函数p=p(x,y,
16、z,t)。这个压力 就是经典热力学平衡态意义上的压力。在粘性流体动力学中，流体质点的物理量都处在变化过程中，过一点 的不同平面上的法向应力的数值并不一定相同。因此，严格说来，并 不存在平衡态意义上的压力。但我们可以定义一平均意义上的压力Pm, ，它是球形流体微团(也可取任意形状的流体微团，结果相同)表面所承 受的法向应力Pnn的平均值的负值，即本构方程和NS方程粘性流体动力学基础 式中 a为球形微团的半径。球面上的法向应力和球面微元面积分别可写成本构方程和NS方程粘性流体动力学基础 于是此式右侧包括9项，分别积分之，最后得即 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础 由此可见，流场中任意一点的平均压力pm，等于过此 点的三个坐标面上的法向应力p11,p22,p33的算术平均值的 负值。 平均压力偏量: 平均压力与平衡态压力之差pm-p。 现在让我们把从应力张量pm中分离出来。为此，
