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1、第七章空间解析几何与向量代数引 言在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起 来的.空间解析几何作为学习多元函数微积分的准备知识.第一节 向量及其线性运算第二节 数量积 向量积 混合积第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程第五节 平面及其方程第六节 空间直线及其方程内 容第一节向量及其线性运算向量 ：既有大小又有方向的量 .向量表示 ：模长为1的向量.零向量 ：模长为0的向量.向量的模： 向量的大小,记为 单位向量：一、向量的概念或或或 几何上：以 为起点 为终点
2、的有向线段.记为任意方向自由向量： 不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量. 记作向量平行： 两个方向相同或相反的非零向量. 记作1. 加法 ：（平行四边形法则）（或三角形法则）二、向量的线性运算三角不等式特殊地：若分为同向和反向同向反向向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律 ：（2）结合律 ：首尾相接起点 终点连加2. 减法特别地3.向量与数的乘法的乘积是一个数,向量设与规定为:（数乘）与 反向，数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律 ：（2）分配律 ：两个向量的平行关系：必要性证 充分性显然； 设 两式相减,得按照向量与数的乘积的
3、规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.单位化例1 化简解例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与 平行且相等,结论得证.横轴纵轴竖轴定点正方向符合右手系, 构成空间直角坐标系. 三、空间直角坐标系确定三个坐标轴：横轴,纵轴和竖轴，面面面空间直角坐标系有三个坐标面，将整个空间分为八个部分，称为八个卦限.分向量坐标分解式空间点 有序数 有序数组特殊点的坐标表示:坐标轴上的点坐标面上的点空间点设四、利用坐标作向量的线性运算加（减）法：数乘：解 由向量的加法，有因此例3解例4 设求向量 的横坐标和沿y轴上的分向量.在y轴上的分向量为五、向
4、量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离有解设P点坐标为所求点为因为P在x轴上，例5解 所求向量有两个,一个与 同向,一个反向或例6两向量的夹角的概念：它们的夹角可在0与 之间任意取值.2.方向角与方向余弦特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定:非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角,称为非零向量 的方向角：方向余弦方向余弦用来表示向量的方向.单位 向量特性例7解已知两点和计算向量的模 、方向余弦和方向角 . 方向余弦为方向角为轴的夹角分别为解例8 设有向量 ，已知，它与轴和和 ，如果的坐标为，求的坐标.的坐标为由前面得投影轴过点M 作与u 轴垂直的平面,点M在u轴上的投影.此平面与在
5、u 轴上的投影.3. 向量在轴上的投影u 轴的交点而即为则称为向量OM 记为称为 在三条坐标轴上的分向量.轴上的投影,按照投影定义,向量在直角坐标系 中的坐标就是向量在三条坐标 即或记作向量的投影具有与坐标具有相同的性质:性质1 (即与为向量 的夹角.性质2即两个向量的和在轴上的投影等于 两个向量在该轴上的投影之和.性质3即例9设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA, 且求 OA 在 OM 方向上的投影注:是指向量在某条与向量同方向的轴上的投影.解 如图所示,设则例9设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA, 且求 OA 在 OM 方向上的投影1.空间直角坐标系 2.空间两点间距离公式（
6、注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限 ）小 结一、空间直角坐标系1.向量的概念2.向量的加减法3.向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则 ）（注意数乘后的方向）二、向量的概念及其线性运算（三角形法则）三、向量的坐标表示则向量的坐标向量的模单位向量向量的投影思考题1.在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？思考题 2.已知平行四边形ABCD的对角线试用 表示平行四边形四边上对应的 向量.思考题2解答思考题3.设求以向量为边的平行四边形的对角线的长度.思考题解答3.对角线的长为平行四边形的对角线的长度各为4.一向量的终点在点它在上的投影依次为求这向量的起点思考题解答由于向量的坐标等于向量在各个坐标轴上的投影，故由题意有则因此，A点的坐标为作 业P.300 习题7-12；4；5；6；8；10；13；15；16；17；19.
