《医学统计学课件Poisson分布陆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《医学统计学课件Poisson分布陆（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、PoissonPoisson分布分布及其应用及其应用 Poisson distribution and its applicationPoisson distribution and its application南京医科大学 易洪刚主要内容nPoisson分布的定义nPoisson分布的性质nPoisson分布的应用Poisson分布的定义n历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837年由法国数学家泊松( S.D Poisson 1781- 1840) 引入的 。n Poisson分布常用于描述有限时间、平面 或空间中罕见“质点”总数的随机分布规 律，也可视为n很大，很小时二项分布 B
2、( ，n)的极限情形。Simon Denis Poisson 17811840nLife is good for only two things: to study mathematics and to teach it. Simon Denis Poisson 17811840n1837年 ，概率论及其重要应用。在这本书的数学 推演中，Poisson从二项分布的极限得到了日后以他 为名的概率分布。nPoisson虽然得到这样的概率分布，但书中他并没有继 续讨论这种分布的性质，在往后的研究中，Poisson似 乎也把它忘掉了。n在十九世纪的许多统计研究报告上，Poisson这个名字 经常出现，
3、但这与Poisson分布无关，大家所关注的是 他在正态分布方面的研究。正态分布在解释理论与数 据变异之间的关系非常成功，当时许多人认为正态分 布就是概率与统计之间唯一的桥梁了。 Bortkiewicz（18681931年）n直到十九世纪末，Bortkiewicz(博尔特科威茨) 才注意到Poisson分布与某些类型的数据之间也 有关系。nLadislaus von Bortkiewicz（18681931年）是 出生在俄国圣彼得堡的波兰人。n他不但在理论方面推演了Poisson分布的许多性 质，并且在介绍了它的应用；nPoisson分布虽然出於Poisson之手，但真正使它 为人重视，并成为统
4、计学一部分的可要算是 Bortkievicz了。Bortkiewicz（18681931年）n他写了一本小册子小数法则，专门研究 Poisson分布。特别着迷小概率事件，特别是许 多情况下很小可能出现的事件。在书中，举了 一个至今仍是脍炙人口的例子，说明数据拟合 Poisson分布的情形。n他研究了在那个骑兵仍旧骑马而不是用坦克的 时代里普鲁士士兵被马踢死的人数的数据。n从1875到1894年的20年间，德国的十四个军团 都有士兵被马踢伤因而致死的人数记录。 每年每军团死亡人数观察数理论数0144139.019197.323234.13118.0421.4500.2合计280280平均计数为0
5、.7的Poisson分布Poisson分布的定义n近数十年来，泊松分布(poisson distribution)日益显示其重要性,成为 概率论中最重要的几个分布之一。n在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.地震在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.火山爆发特大洪水电
6、话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数可能发生这些事件的观察例数n常常很大 ，但实际 上发生类似事件的数目却很小很小。Poisson分布的定义Poisson分布的定义n每升水中大肠菌群数的分布n粉尘在单位容积内计数的分布n放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布n单位空间中某些野生动物或昆虫数的分布n一定人群中某种患病率很低的非传染性疾病患 病数或死亡数的分布n人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常的人数n天空中的流星数n基因突变的数目特点：单位时间或空间中罕见事件发生数的分布规律1 Poisson分布的概率（P22）n如果一个随机变量X的取值为0,1,2,，且：则称X服从参数为 的Poisson
7、分布。 记为 X Poisson()。累计概率P(Xk) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=k) P(Xk) = P(X=k)+P(X=k+1)+ P(Xk) = 1 P(X 50时：n平均计数的 95%CI:总计数X较大时, 可用正态近似法：例nn=一个单位时间(30分钟)，X=360。q30分钟该放射物质的平均脉冲数的95%CI：(3601.96sqrt(360), 3601.96sqrt(360)=(322.8, 397.2)30分钟该放射物质的脉冲数为360。n个单位，一个样本计数，且 X 50时：n平均计数的 95%CI:总计数X较大时, 可用正态近似法：例nn=3个单位时间(
8、一个单位时间10分钟)， X=360。 则：q10分钟该放射物质的平均脉冲数的95%CI：n多个样本计数。先求和，合计成一个样本以后计算95%CI，再 除以样本数，得到平均每个单位内的计数的 95%CI。总计数X较大时, 可用正态近似法：n例4.6 （page41） 用计数器两次测得某放射性 物质5分钟内发出的脉冲数分别为42和48个。 假设单位时间内脉冲数的发放符合Poisson分布 ，试估计该放射性物质每5分钟平均脉冲数的 95%可信区间。 总计数X较大时, 可用正态近似法：总计数X较大时, 可用正态近似法：n先计算2个单位时间(10分钟)内平均脉冲数的 95%可信区间。 nX=42+48
9、=90n(901.96 ，901.96 )=(71.4，108.6)n则平均每单位时间(5分钟)该放射性物质平均发 出脉冲数为45.0个/5分钟，其95%CI为： 35.754.3个/5分钟。 总计数X较小时, 查表法(根据分布直接计算)n个单位的总计数 X 50时：n例 n=1(一个标准单位), X=8。(3.4, 15.8)n例 n=3 (3个标准单位), X1=8, X2=10, X3=6。 X=24。先查X=24。得95%CI: (15.4，35.6)，再除以3, 得: (5.13, 11.87)。Poisson的平均计数的可信区间95% 99%X2 0.2 7.2 0.1 9.3 X
10、4 1.010.2 0.612.6 X6 2.213.1 1.515.6 X8 3.415.8 2.518.5 X10 4.718.4 3.721.3 X2012.230.8 10.334.6 X3020.242.8 17.747.2平均计数的可信区间的性质n可信区间总是不对称的；X 越大，不对称性将 得到改善。n均数越大，方差越大，抽样误差越大，可信区 间越宽。n从大单位估计可信区间，与从小单位估计可信 区间公式不同，结果一样。根据Poisson分布的 可加性，可以先求总计数的可信区间，再将所 得可信区间除以观察单位数。3.2 两平均计数的比较( n 较大时)（ P83）n两个样本观察单位相
11、同时：n两个样本观察单位不同时：n例为研究两个水源被污染的情况是否相同，在 每个水源各取10ml水坐细菌培养，结果甲水源 样品中测得菌落890个，乙水源样品测得菌落 785个。请问两个水源的污染情况是否不同？3.2 两平均计数的比较( n 较大时)3.2 两平均计数的比较( n 较大时) 例 X1=890; X2=785; H0: 1 = 2; H1: 1 2 , =0.05因为u0.05=1.96，故按0.05水准，不拒绝 H0,尚不能认为两个水源的污染情况不同。n例 某车间在改革生产工艺前，测取三次粉尘 浓度，每升空气中分别有38、39、36颗粉尘； 改革生产工艺后，测取两次，分别有25、
12、18颗 粉尘。问工艺改革前后粉尘颗粒有无差别？ 3.2 两平均计数的比较( n 较大时 )(page84)3.2 两平均计数的比较( n 较大时)n例 n1=3, X1=38+29+36=103;n2=2, X2=25+18=43; H0: 1 = 2; H1: 1 2 , =0.05因为u0.05=1.96，故按0.05水准，拒绝H0, 接受H1,可以认为该车间改革前后粉尘浓度不 同。3.3 样本计数与总体计数的比较( n 较大时)Poisson分布的应用条件(1)n主要用于研究单位时间、单位空间内某事件的 发生数，理论上X可为无穷大。n平稳性：X与观察单位的位置、状态无关；n独立性：无传染
13、性、聚集性的事件。n普遍性：在充分小的观察单位中，X最多只发 生1次。泊松分布产生的一般条件(了解)在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随 机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现 的事件所形成的序列,叫做随机事件流.若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称 该事件流为泊松事件流（泊松流）.下面简要解释平稳性、独立性、普通性.平稳性:在任意时间区间内，事件发生k次(k0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.独立性:普通性:在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的.如果时间区间充分小，事件出现两次或两次 以上的概率可忽略不计.Poisson分布的应用条件(2)n单位人群:
14、 人数要求多。比如以500人， 1000人或更多人作为单位人群，发病率 越低，要求单位人群的人数越多。n分析中特别注意：观察单位数！二项分布、Poisson分布、正态分布 间的关系nn较大时，二项分布B(n,)中样本率的分布近 似正态分布；n较大(20)时，Poisson分布中平均计数近似正态分布N( , ) ；nXiB(ni,i)，若C=nii不变，则ni 时，二项分布近似Poisson分布二项分布 泊松分布n很大, p 很小n 100, np 10 时近似效果就很好请看演示二项分布的泊松近似实际计算中，当 n很大时，p 很小. 有以下近似式：其中 泊松定理:设随机变量XB(n,p).注意对比：Poisson分布 二项分布 均数 标准差 标准误 可信区间 假设检验 与正态分布的关系 应用范围 应用条件
