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1、第二讲：连续、导数、微分1函数的连续性 2 导数的概念 3函数微分(1)(2)(3)一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.解例如跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例6解例7解注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例8解三、小结1
2、.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx闭区间上连续函数的性质： 一、最大值和最小值定理 定义:例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.证二、介值定理定义:几何解释:几何解释:M B CAma b证由零点定理,推论 在闭区
3、间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值.例1证由零点定理,例2证由零点定理,三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意 1闭区间； 2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.极限位置即2 导数的概念二、导数的定义定义其它形式即关于导数的说明：注意:2.右导数:单侧导数1.左导数:三、由定义求导数步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解例6解四、导数
4、的几何意义1.几何意义切线方程为法线方程为例7解 由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数.证例8解六、小结1. 导数的实质: 增量比的极限;3. 导数的几何意义: 切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.6. 判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考题思考题解答3 微分： 问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.二、微分的定义定义(微分的实质)由定义知:三、可微的条件定理证(1) 必要性(2) 充分性例1解微分的求法求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则例2解例3解六、微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例4解例3解例5解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.七、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.导数与微分的联系:
