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1、第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 第3章 MATLAB在高等数学中的应用 3.1 矩阵分析3.2 多项式运算 3.3 数据的分析与统计 3.4 函数分析与数值积分 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.1 矩阵分析 1矢量范数和矩阵范数矩阵范数是对矩阵的一种测度。矢量的p范数和矩阵A的p范数分别定 为：当p2时为常用的欧拉范数，一般p还可取l和。这在MATLAB中可 利用norm函数实现，p缺省时为p=2。 格式：nnorm(A) 功能：计算矩阵A的最大奇异值，相当于n=max(svd(A)。 格式：nnorm(A，p) 功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数，根据
2、p的不同可得到不 同的范数第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 2矩阵求逆及行列式值 矩阵求逆函数inv及行列式值函数det 逆矩阵的定义：对于任意阶 nn 方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使得满足 ：A*V=I。其中I为n阶的单位矩阵eye(n)。则V就是A的逆矩阵。数学符号表示为： V=A-1。逆矩阵V存在的条件是A的行列式不等于0。 格式：V=inv(A) 功能：返回方阵A的逆矩阵V。 格式：X=det(A)功能：计算方阵A的行列式值。 伪逆矩阵函数pinv 伪逆矩阵的MATLAB定义：从数学意义上讲，当矩阵A为非方阵时，其矩阵的逆是不存在的。在MATLAB中，为了求线性方程组
3、的需要，把inv(A*A)*A的运算定 义为伪逆函数pinv，这样对非方阵，利用伪逆函数pinv可以求得矩阵的伪逆，伪逆 在一定程度上代表着矩阵的逆。 格式：C=pinv(A) 功能：计算非方阵A的伪逆矩阵。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3线性代数方程求解 写成矩阵形式可表示为：AXB 或 XAB。其中系数矩阵A的阶数为mn。在 MATLAB中，引入矩阵除法求解。(1)求解方程AX=B格式：X=AB条件：矩阵A与矩阵B的行数必须相等。(2)求解方程XA=B格式： X=B/A条件：矩阵A与矩阵B的列数必须相等。一般线性方程组的第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 4矩阵的分解
4、 (1)三角(LU)分解函数lu所谓三角解就是将一个方阵表示成两个基本三角阵的乘积(A=LU），其中一 个为下三角矩阵L，另一个为上三角形矩阵U，因而矩阵的三角分解又叫LU分解或 叫LR分解。矩阵 分解的两个矩阵分别可表示为：格式一：L,U=lu(A)功能：返回一个上三角矩阵U和一个置换下三角矩阵L(即下三角矩阵与置换矩阵 的乘积)，满足A=L*U。格式二：L,U,P=lu(A)功能：返回上三角矩阵U，真正下三角矩阵L，及一个置换矩阵P(用来表示排列规 则的矩阵)，满足L*U=P*A；如果P为单位矩阵，满足A=L*U。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (2)正交(QR)分解函数将矩阵
5、A分解为一个正交矩阵与另一个矩阵的乘积称为矩阵A的正交分解。格式一：Q, R=qr(A)功能：产生与A同维的上三角矩阵R和一个实正交矩阵或复归一化矩阵Q，满足：A=Q*R，Q*Q=I。格式二：Q,R,E=qr(A)功能：产生一个置换矩阵E，一个上三角矩阵R(其对角线元素降序排列)和一个归一化矩阵Q，满足A*E=Q*R；第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 5奇异值分解 矩阵A的奇异值和相应的一对奇异矢量u、v满足：同样利用奇异值构成对角阵，相应的奇异矢量作为列构成两个正交矩阵U、V，则 有：其中AT表示转置矩阵。由于U和V正交，因此可得奇异值分解：格式一：U,S,V=svd(x) 功能：
6、返回3个矩阵，使得X=U*S*V。其中S为与X相同维数的矩阵，且其对角元 素为非负递减。格式二：S=svd(A) 功能：返回奇异值组成的向量。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 6矩阵的特征值分析 矩阵A的特征值 和特征矢量 ，满足：以特征值构成对角阵 ，相应的特征矢量作为列构成矩阵V，则有：如果V为非奇异，则上式就变成了特征值分解：格式一：d=eig(A) 功能：返回方阵A的全部特征值所构成的向量。格式二：V,D=eig(A) 功能：返回矩阵V和D。其中对角阵D的对角元素为A的特征值，V的列向量是相应 的特征向量，使得A*V=V*D。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 7矩阵
7、的幂次运算: Ap在MATLAB中，矩阵的幂次运算是指以下两种情况：1、矩阵为底数，指数是标量的运算操作；2、底数是标量，矩阵为指数的运算操作。两种情况都要求矩阵是方阵，否则，将显示出错信息。(1) 矩阵的正整数幂如果A是一个方阵，p是一个正整数，那么幂次表示A自己乘p次。(2) 矩阵的负数幂如果A是一个非奇异方阵，p是一个正整数，那么A(p)表示inv(A)自己乘p次。 (3) 矩阵的分数幂如果A是一个方阵，p取分数，它的结果取决于矩阵的特征值的分布。(4) 矩阵的元素幂、按矩阵元素的幂利用运算符“A.p”实现矩阵的元素幂或按矩阵元素的幂运算。 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 8
8、矩阵结构形式的提取与变换 (1) 矩阵左右翻转函数fliplr( ) 格式：X=fliplr(A)(2) 矩阵上下翻转函数flipud 格式：X=flipud(A)(3) 矩阵阶数重组函数reshape 格式一：X=reshape(A,n,m) 功能：将矩阵A中的所有元素按列的秩序重组成nm阶矩阵X，当A中没有mn个元素时会显示出错信息。 格式二 ：X=reshape(A,m,n,p,.) 或 X=reshape(A,m,n,p,.) 功能：从A中形成多维阵列(mnp.)。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (4) 矩阵整体反时针旋转函数rot90( )格式一：X=rot90(A)功能：将矩阵按反时针旋转90o。格式二：X=rot90(A, k)功能：将矩阵按反时针旋转k*90o，其中k应为整数。(5) 对角矩阵和矩阵的对角化函数diag( )格式一：X=diag(A,k)功能：当A为n元向量时，可得n+abs(k)阶的方阵X，其A的元素处于第k条对 角线上；k=0表示主对角线，k0表示在主对角线之上，k0表示主对角线之上，k0表示主对角线之上，k0，则必须a0，求满足初始 条件 u(x, t0)=u0(x)边界条件如下的解：3偏微分方程的求解考虑如下的偏微分方程：
