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1、一、选择题1. （3、4） （数学、初中数学竞赛、根式方程、二元一次方程、选择题）方程 的整数解有 ( ) x2+y2+22=x+y+2A. 1组 B . 3 组 C . 6 组 D . 无穷多组分析：由题意知 +y0，方程化简得 因为xy+2(x+y)=0,(x+2)(y+2)=4. y0，所以上式就分成 22,14，两种情况，对应的整数解有 3组.答案:B技巧：将方程化简，在进行因式分解，最后根据整数解来进行情况讨论.易错点：容易将题中一些隐含性的条件弄掉，从而造成错解.2.（2、3） （数学、初中数学竞赛、等腰梯形计算、一元二次方程、选择题）如果某个等腰梯形的下底与对角线长都是 10，梯
2、形的上底与高相等，则上底的长是 ( ) A . 52 B . 62 C . 5 D . 6分析：设上底长为 x，由勾股定理得 ，整理得 解(10-x2 +x)2+x2=100 x2+4x-60=0.得 （舍去）. x1=6,x2= -10答案：D .技巧：根据图形用勾股定理.易错点：注意方程两根的取舍.3. （2、3） （数学、初中数学竞赛、一元二次方程、选择题）关于 x的一元二次方程 为正整数）有整数根时，m 的值可以4x2+4mx+m2+m-10=0(m取 ( ) A . 1个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个分析：因为 = , 要使根为整数，则需对 m=1,9,6,10.分
3、别进行讨论.-416(10)8详解：由求根公式得 = .当 m=1时，对应的 为 1、-2 成立；当 m=9时，对-102应的 为 4、-5 成立；当=6 时，对应的 为-4、-2 成立；当 m=10时，对应的 为-2.所以 m的值有 4个.答案：D技巧：先用求根公式表示出根，再根据题目条件进行讨论.易错点：容易漏掉讨论情况.4.（2007 年“数学周报”杯竞赛题）方程 的整数解(x，y) x3+6x2+5x=y3-y+2的个数( ) A.0 B.1 C.3 D.无穷多5.（2006 年浙江省竞赛题）一元二次方程 中，若 a，b 都是ax2+bx+c=0(a 0)偶数，c 是奇数，则这个方程
4、( ) A.有整数根 B.没有整数根 C.没有有理数根 D.没有实数根6.（第 21届江苏省竞赛题）设 x1 ,x2是方程 x2+x-4=0的两个实数根，则 x13-的值为 5x22+10 A . -29 B . -19 C . -15 D . -9 7.（2001 年山东省竞赛题）甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1 小时后他们分别到达各自的终点 A和 B.若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达 A之后 35分钟到达 B，甲的速度与乙的速度之比为 ( ) A.3：5 B.1:3 C.4：5 D.3：4 8.（2007 年浙江省竞赛题）把三个连续的正整数 a.b.c按任意次序（次
5、序不同视为不同组）填入 的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系 x2+ x+ =0数、一次项系数和常数项，则使所得方程至少有一个整数根的 a，b， c ( ) A.不存在 B.有一组 C.有两组 n 多于两组9.（2007 年数学周报杯竞赛题）已知三个关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0,恰有一个公共实数根，则 的值为bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0a2+b2ca+c2abA. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10.（2006 年全国初中数学联赛题）关于 x的方程 仅有两个不同的实根， |x2x-1|=a则实数 a的取值范围是 ( ) A.a0B.a 4C.2bc a+b
6、+c=1,a2+求证： b2+c2=1. 10 b2-4ac=b-，求 的最小值. 2ac b2-4ac答案与解析 1.B 化简得xy+2(x+y)=0,(x+2)(y+2)=4.由 及x+y+2 0 (x+2)+可知 部是正整数. (y+2)0 (x+2),(y+2)2.D 设上底长为 x，由勾股定理得 ，整理得 解得(10-x2 +x)2+x2=100 x2+4x-60=0.（舍去）. x1=6,x2= -103.D ，分别就 进行讨论. =16(10-m) m=1,9,6,104.A 原方程可化为 ，因为三个连续x(x+1)(x+2)+3(x2+x)=y(y-1)(y+1)+2整数的乘积
7、是 3的倍数，所以上式左边是 3的倍数.而右边除以 3余 2，这是不可能的.所以原方程无整数解. 5.B 假设有整数根，不妨设它的根是 2k或 2k+l(k为整数)，分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除 A；若 a，b，c 分别取 4，8，3，则排除 C，D. 6.B 因为 ，所以已知方程有两个实根，则 .因此 =1+160 x1+x2= -1 x21=-x1+4x31= -x21+4x1=(x1-4)+4x1=5x1-4;x22= -x2+4-5x22=5x2-所以20. x31-5x22+10=5x1-4+5x2-20+10=5(x1+x2)-14= -19.7.D 设
8、甲的速度为 x，乙的速度为 y，由题意得 ，即 解得xy=yx-3560 12y2-7xy-12x2=0,，所以4x=3yxy=348.C 设三个连续的正整数分别为 n-l，n，n+l（n 为大于 l的整数） ，当一次项系数是 n-l或 n时，方程的判别式均小于 0，方程无实数根；当一次项系数是 n+1时，方程，要使 ，由于 n为大于 1的整数， =(n+1)2-4n(n-1)= -3(n-1)2+4 0 所以 n只能取 2.当 均有整数根所n=2时 ，方程 有 x2+3x+2=0,2x2+3x+1=0 以满足要求的 a,b,c只有两组(1，3， 2)， (2，3，1). 9.D 设 x0是它
9、们的一个公共实数根，则把上面三个式子相加，并整理ax20+0+c=0,bx20+cx0+a=0, cx20+ax0+b=0得 .(a+b+)(x20+x0+1)=0.所以因 为 x20+x0+1=(x0+12)2+340, a+b+c=0.于是 a2+b2ca+c2ab=a3+b3+c3abc =a3+b3-(a+b)3abc = -3ab(a+b)abc =3.10.D时，当 a0，整理得 或 因为方程的判别式x2x-1= a x2-ax+a=0 x2+ax-a=0，即方程 有两个不 同 实 根，又因为 原方 程 仅 有两 个不 2=a2+4a0同的实根，故 必 有方 程 的 判 别式 ，从
10、而 1=a2-4a2 m=1 2x-1=0,x=12 m= -1时，方程 ，不符合题意；当 时，因为-2x-1=0,x= -12 m 14 =4m2+4(1-m2)=，其两根为 因为原方程的根都是比 1小的正实数，所以0 x1=1m+1,x2= 1m-1 02 m=1 m2.16. 因为 ，所以 x，y 是关于 t的133 x+y=5-,xy=3-z(5-z)=z2-5z+3一元二次方程 的两实数根，因为t2-(5-z)t+z2-5z+3=0 =(5-z)2-4(z2-5x+，即 ，所以 .当 时，4 ) 0 3z2-10z-13 0,(3z-13)(z+1) 0 z133 x=y=13，故
11、z的最大值是=133 13317. 将 两式相加得-3 t -13 a2+ab+b2=1,t=ab-a2-b2 2ab=t+1,( 又因为 所以ab=t+12 (a+b)2=a2+ab+b2+ab=1+ab=t+32 0.t -3,于是可知 a，b 是关于 x的方程 的两实数a+b= t+32 x2 t+32x+t+12 =0l，所以 ，即 .综上所述，f 的取值范围是 0 t -13 -3 t - 13 18. 432 易知 是关于 t的方程 的两个根，即是方程33,53x.+43+ y+63=1 t2+(43+的两个根.根据根与系数关系有63-x-y)t+(4363-43y-63x)=03
12、3+53=所以-(43+63-x-y), x+y=33+53+43+63=432.19. 由根与系数的关系得 ，所以-10034016 an+bn=n+2,anbn= -2n2(an-2) 0 -130,，从而 ，矛盾，所以 .综上可知 ，所以b0 a2+b2+c20. ab=1c0,a+b= -1c20 =b2-4ac0这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与 x轴有两个不同交点 A(_x1，0)，B(x2，0). 因为 不妨设 则 对称轴 于是x1x2=ca0. x1x2 x10x2, x= -b2a 0,所以 ，故x|=|-b+b2-4ac2a |=b-b2-4ac2a =c, 4ac-b24a c=b-b2-4ac2a - b2-4ac2a，所以当 时，等号成立， 的最b2-4ac 4 a= -1,b=0,c=1 b2-4ac小值是 4.
