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1、第五章 常微分方程数值解法 (Numerical Methods for Ordinary Differential Equations)引言引言 考虑一阶常微分方程的初值问题 (Initial-Value Problem ):只要 f (x, y) 在x a, b 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上 述常微分方程存在唯一解。引言数值解法就是要计算出解函数 y(x) 在一系 列节点 a = x0 y1 y1 y2 y2 yn yn计算顺序：q （P170）例1：取h=0
2、.1，分别用显式Euler法、隐式 Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题 计算过程见P170 解：用预测校正系统求解，有： y0=1p阶精度若某算法的局部截断误差e(h)满足： e(h)= O(hp+1)，即有： e(h)/ hp+1=c(常数）， 则称该算法有p 阶精度。定义 欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有 1 阶精度。显式：隐式：梯形公式 （trapezoid formula）注：的确有局部截断误差 ，即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进 步。但注意到该公式是隐式公式。从显式、隐式Euler法和Euler局部截断误 差来看似乎可以有如下式子梯形公式：隐式Euler显式E
3、uler基于数值积分的求解思想求出 积分的近似表达，也就求出了y(xk) hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk) f(xk-1,yk-1)基于数值积分的求解思想用矩形求积公式代替hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk) f(xk-1,yk-1)左矩形显式Euler公式右矩形隐式Euler公式基于数值积分的求解思想用梯形求积公式代替hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk) f(xk-1,yk-1)注：梯形公式是隐式公式显式、隐式Euler的平均梯形公式具有2阶精度余项方 法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式计算简单精度低 稳定性好精度低, 计算不便
4、精度提高计算不便Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages?Let me try！Euler公式及梯形公式总结改进的Euler法预测校正系统 （ modified Eulers method）注：可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到 它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解 过程简单。它的稳定性高于显式欧拉法。误差比较：梯形法改进Euler法 yk应用simpson求积公式：Simpson公式4阶精度P198 习题6用Euler法和改进的Euler法解方程
5、，h0.1注意改题目为0 y1取n=2 计算K1， K2， K3， = y2取n=3 计算K1， K2， K3， = y3n12 K1 K2 K3 y1列表计算四阶龙格 - 库塔法(经典R-K法) /* Classical Runge-Kutta Method */ e(h)=O(h5 ) 4阶精度优缺点： 优点是：(1)都是一步法，因此只要给定一个初始值就可以一直计算下去；(2)精度相对较高，如经典R-K法为四阶精度 缺点是：(特别是三阶和四阶法)计算量较大。其他问题讨论： (1)R-K法推导基于Taylor展式，因而要求y(x)有较好的 光滑性（即有高阶导数）。 (2)最常用的是四阶公式，
6、它适用于一般的问题，准确 、稳定、易于编程。 (3)步长h减小，局部误差O(h5)减小但步数增加，舍入误差积累增加h要适当， 总误差才最小四阶龙格 - 库塔法(经典R-K法) /* Classical Runge-Kutta Method */ q P180 例：取h=0.1，用三阶、四阶R-K法求解初值问题 解：用三阶R-K法取n=1 计算K1， K2， K3， K4 = y1 取n=2 计算K1， K2， K3， K4 = y2 取n=3 计算K1， K2， K3， K4 = y3n1 K1 K2 K3 K4 y1列表计算q 例：取h=0.2，用四阶龙格库塔法求解初值问题 举例解：这里 ，
7、经典的四阶龙格-库塔公式为举例表中列出了计算结果，同时列出了相应的精确解.比较本章第一个例子的计算结果，显然龙格-库塔方法的精度高. 名称RK4（A,B,Y0,H） 存储：K1K4 xk-4,xk增加内部节点： xk-1, xk-2, xk-3 , xk-4 原来的外部节点 积分区间的内部节点 方程形式变化：闭型求解Milne公式推导：(1) 取xk-1, xk-2, xk-3 , xk-4 为节点作三次Newton前插公式 代替f(x, y(x)：f(x, y(x)= N3(x)+R4(x)(2) xxk-4+th 则 xxk-4,xk时，t 0,4 作x-t替换(3) 计算积分及误差截断误
8、差：4阶精度Milne公式闭型求解公式Milne公式不能直接使用，一般是首先用四阶RK 法求出前几个节点的值，然后使用Milne公式求解。前面知道Simpson公式（四阶精度）是隐式积分公 式，所以利用Milne公式，可以得到如下的精度为四 阶的预测校正系统。解： (1) 用三阶R-K法求y(0.4) 的值q P187例：分别用三阶Adams显式公式和Milne公 式计算下面的初值 问题的解y(x)在0.6和0.8处的值， h0.2，已知y1=0.181。解： (1) 用三阶R-K法求y(0.4) 的值q P187例：分别用三阶Adams显式公式和Milne公 式计算下面的初值 问题的解y(x
9、)在0.6和0.8处的值， h0.2，已知y1=0.181。(2) 将0、0.2、0.4处的值代入三阶显式Adams公式计算y(0.6)(3) 将0、0.2、0.4、0.6处的值代入Milne公式计算y(0.8)计算过程 见P187第五章 常微分方程数值解法线性多步法（ Multistep Method ）P198 习题15（第三版）P200 习题16（第二版）第五章 常微分方程数值解法欧拉方法（ Eulers Method ）q 例:用改进的Euler法推出Yn和Xn的关系表达 式，并与准确解析式作比较举例补充：导出改进Euler公式的解表达并与解：其中 为Euler算出Euler公式 ：第五章 常微分方程数值解法龙格库塔法（RungeKutta Method ）q 例:用四阶R-K法求解初值问题 举例解：举例举例举例q 例:用四阶Adams求解初值问题 举例解：举例第五章 常微分方程数值解法线性多步法（ Multistep Method ）
