运用数学思想方法， 寻求解题思路

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1、运用数学思想方法， 寻求 解题思路大连市教育学院大连市教育学院 杨树勇杨树勇 中学特级教师中学特级教师教学目标：在加深对数学思想方法的理解的基础上，使同学们学教学目标：在加深对数学思想方法的理解的基础上，使同学们学 会如何运用数学思想方法去寻求解题思路，进一步提会如何运用数学思想方法去寻求解题思路，进一步提高分析问题和解决问题的能力，形成良好的思维品质，高分析问题和解决问题的能力，形成良好的思维品质，增强学习自信心。增强学习自信心。教学重点：运用数学思想方法寻求解题思路。教学重点：运用数学思想方法寻求解题思路。 教学难点：如何寻求解题思路。教学难点：如何寻求解题思路。教学关键：分析题目的具体情

2、况，以数学思想方法为指导，寻求教学关键：分析题目的具体情况，以数学思想方法为指导，寻求转化策略和转化方法转化策略和转化方法一、中学数学主要的数学思想方法：一、中学数学主要的数学思想方法：相互转化相互转化对立统一对立统一转化的策略转化的策略 与方向与方向数形结合的思想数形结合的思想函数与方程的思想函数与方程的思想分类讨论的思想分类讨论的思想 特殊化与一般化特殊化与一般化 类比、试验、猜想与归纳类比、试验、猜想与归纳 运动与变化动态思维运动与变化动态思维 局部与整体局部与整体 逆向思维发散思维逆向思维发散思维转化的方法转化的方法分析法与综合法分析法与综合法 反证法与同一法反证法与同一法 数学归纳法

3、数学归纳法 构造法构造法 换换元法元法 坐标法坐标法 降维降维消元法消元法 因式分解与配方法因式分解与配方法 待定系数法待定系数法例题分析例题分析例例1 1 若函数若函数 f(x)=a4f(x)=a4x-1x-1-2-2x x+a+a的的 图象在图象在x x轴的上方，求常数轴的上方，求常数a a的的 取值范围。取值范围。思路：将函数图象问题转化为不等式问题，再将思路：将函数图象问题转化为不等式问题，再将 不等式问题不等式问题 转化为函数值域问题。转化为函数值域问题。解：由题意，解：由题意，a4a4x-1x-1-2-2x x+a0 +a0 恒成立，设恒成立，设 t=2t=2x x，t0t0问题转

4、化为问题转化为即即恒成立恒成立, , a a大于大于的的最大值最大值 。反思：运用了数形结合的思想，换元的方法，分离反思：运用了数形结合的思想，换元的方法，分离a a 参数的方法；常数参数的方法；常数 af (x) af (x) 恒成立，转化为恒成立，转化为af (x)af (x)的的 最大值。最大值。解法二：由解法二：由在在 t t(0,(0,)上恒成立，上恒成立，当当时，时，不合题意，不合题意，反思：换元，转化为二次函数的图象分布问题，进行分类反思：换元，转化为二次函数的图象分布问题，进行分类 讨论。讨论。例例2 2 设不等式设不等式对满足对满足的一切实数的一切实数mm的取值都成立，求的取

5、值都成立，求x x 的的取值范围。取值范围。思路：思路： 转化为函数值域问题。转化为函数值域问题。解法一：解法一：当当x=1x=1时，时，11m0m0恒成立。恒成立。当当x=x=1 1时，时，33m0 m0 不成立。不成立。 当当x1x1时，原不等式化为时，原不等式化为22m2 , m2 , 要使上式恒成立，则要使上式恒成立，则或或或或解得解得x x 的取值范围是的取值范围是解法二：解法二： 设设要使要使在在 上恒上恒满足满足其其充要条件为充要条件为：解得解得反思：反思： 解法一的特点是，先将解法一的特点是，先将mm分离出来，根据函数值域分离出来，根据函数值域转化为解不等式组问题；而解法二是将

6、问题转化为转化为解不等式组问题；而解法二是将问题转化为关于关于mm的一次函数在闭区间的值域问题。相比之下，的一次函数在闭区间的值域问题。相比之下，解法二更为简捷。解法二更为简捷。1 1-1-1例例3 3 设有函数设有函数和和函数函数已知当已知当时，时，求实数求实数a a的取值范围。的取值范围。思路：构造函数，数形结合，转化为解析几何问题。思路：构造函数，数形结合，转化为解析几何问题。解：解：转化为转化为令令由由直线直线在半圆在半圆的上方，的上方，圆心圆心 （2 2，0 0）到直线）到直线的距离大于半的距离大于半径，径， 且且 解得解得即为所求实数即为所求实数a a的取值范围。的取值范围。注意：

7、在画注意：在画的图形时，等价转化为的图形时，等价转化为0 0-2-2例例4 4 如果实数如果实数a a 、b b 满足不等式满足不等式求求 的的最大值。最大值。思路一：数中构图，从式子的几何意义入手。思路一：数中构图，从式子的几何意义入手。解法一：原不等式化为解法一：原不等式化为在直角坐标平面内，点在直角坐标平面内，点在圆在圆的的圆周上或内部，圆周上或内部，表示点表示点OO（0 0，0 0）与点与点P(aP(a，b)b)连线的斜率。当直线连线的斜率。当直线OPOP与圆相切时，与圆相切时， OPOP的斜率最大或最小，不难算得最大的斜率最大或最小，不难算得最大 值为值为 。思路二：换元，将问题转化

8、为二次不等式有实数解问题思路二：换元，将问题转化为二次不等式有实数解问题解法二：设解法二：设，代入代入中，化简为中，化简为此不等式应有实数解，则判别式此不等式应有实数解，则判别式解得解得当且仅当当且仅当时，时，k k有最大值有最大值思路三：转化为二次函数的最值问题。思路三：转化为二次函数的最值问题。解法三：在解法二中，由解法三：在解法二中，由当且仅当当且仅当时时取等号。取等号。的的最大值为最大值为反思：三种解法各有特点，解法一比较直观，凭借图形便可反思：三种解法各有特点，解法一比较直观，凭借图形便可得出答案；其它两种解法，利用换元将问题转化为二得出答案；其它两种解法，利用换元将问题转化为二次不

9、等式有实数解或二次函数最值问题。次不等式有实数解或二次函数最值问题。例例5 5 已知已知、求求a+ba+b的取值范围。的取值范围。思路：思路： 构造一元二次方程，运用方程性质解题。构造一元二次方程，运用方程性质解题。解：解： 设设则由则由是方程是方程的两根。的两根。即即即即a+b a+b 的取值范围是（的取值范围是（0 0，2 2 ）例例6 6 抛物线抛物线 与与过点过点MM（0 0，1 1）的直线的直线 相交于相交于A A、B B两点，两点，OO为坐标为坐标 原点，若直线原点，若直线OAOA与直线与直线OBOB 的斜率之和为的斜率之和为1 1，求直线求直线ABAB的方程。的方程。OOA AB

10、 BMM思路：直线与抛物线的交点问题，转化为求方程组的解的问题。思路：直线与抛物线的交点问题，转化为求方程组的解的问题。构造关于斜率构造关于斜率 的一元二次方程。的一元二次方程。解：解： 设直线设直线ABAB的方程为的方程为 y =y = kx kx1 ,1 ,满足方程组满足方程组由由 1= 1=kxkxy y 代入代入例例7 7 直角三角形直角三角形OABOAB的内切圆的方程为的内切圆的方程为求求三角形三角形OABOAB的面积的最小值和的面积的最小值和 周长的最小值周长的最小值ABO11思路：思路： 运用相切条件，建立运用相切条件，建立a,ba,b间的等式，转化为不等式；间的等式，转化为不等

11、式；或建立函数关系求最值。或建立函数关系求最值。解法一：解法一： 由截距式，直线由截距式，直线ABAB的方程是的方程是解法二：解法二： 由由 OO11ABC反思：反思： 解法一的特点是，将等式转化为解不等式问题；解法一的特点是，将等式转化为解不等式问题；解法二的特点是，建立函数关系，转化为求函数解法二的特点是，建立函数关系，转化为求函数最值问题；最值问题；解法三的特点是，运用平面几何知识和三角知识解法三的特点是，运用平面几何知识和三角知识建立函数关系，再转化成方程问题。建立函数关系，再转化成方程问题。例例8 8 如图，圆锥如图，圆锥SOSO的轴截面是等腰直角三角形的轴截面是等腰直角三角形 ，母

12、线长为，母线长为2 2a,Pa,P、QQ分别是底面圆分别是底面圆OO圆上和圆内的圆上和圆内的 动点，动点，OQOQPQPQ，E E是母线是母线SPSP的中点，的中点，OFOFSQSQ于于 F.F. （1 1）求证：求证：OFOF平面平面SPQSPQ； （2 2）求证：求证：SESE平面平面EFOEFO； （3 3）求三棱锥求三棱锥SEFOSEFO的体积的最大值。的体积的最大值。SEPQFO思路：线面垂直与线线垂直相互转化；立体几何问题思路：线面垂直与线线垂直相互转化；立体几何问题转化为平面几何问题。转化为平面几何问题。解解 （1 1）、（）、（2 2）略）略（3 3）SE=a SE=a 为定值

13、，为定值，求三棱锥求三棱锥SOEFSOEF体积的体积的 最大值转化为求三角形最大值转化为求三角形OEFOEF面积的最大值。面积的最大值。三角形三角形OEFOEF面积面积当且仅当当且仅当EF=OFEF=OF时取等号。时取等号。 三棱锥三棱锥SOEFSOEF的体积的体积思路一：由特殊到一般，再由一般到特殊。思路一：由特殊到一般，再由一般到特殊。先证一般的情形：先证一般的情形：这不难用数学归纳法证明，证略。这不难用数学归纳法证明，证略。 再令再令n=100n=100即为原不等式。即为原不等式。思路二：由局部到整体。思路二：由局部到整体。将将以上各式相加即得：以上各式相加即得：思路三：构造函数思路三：

14、构造函数只要证明只要证明那么那么 f(100)f(99)f(98) f(100)f(99)f(98) f(1)= f(1)=f(100)0, f(100)0, 即即证明：证明：思路：数形结合，用运动变化的观点考虑问题。思路：数形结合，用运动变化的观点考虑问题。1小结：运用数学思想方法解数学题，是提高小结：运用数学思想方法解数学题，是提高 解题能力的基本途径。要善于运用数学思想解题能力的基本途径。要善于运用数学思想 方法对数学问题进行转化，其转化方向是：方法对数学问题进行转化，其转化方向是： 已知到未知，复杂到简单，不熟悉到熟悉，已知到未知，复杂到简单，不熟悉到熟悉， 等等。要熟练掌握转化的手段，数与形，函等等。要熟练掌握转化的手段，数与形，函 数与方程，分类讨论，特殊与一般，动与静数与方程，分类讨论，特殊与一般，动与静 ，正面与反面局部与整体等，正面与反面局部与整体等。