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1、 - 1 -第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式） 、分式、根式它们具有实数的属性，可以进行运算在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式） ，并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充基于同样的原因，
2、还要补充“繁分式”等有关内容一、乘法公式【公式 1】 cabcbacb2)(22证明： 2)()()(aacabcc2222等式成立【例 1】计算： 22)31(x解：原式= x913282 )2(312)()()3422 xx xx说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式 2】 (立方和公式)322)(baba证明: 33223( babb 说明:请同学用文字语言表述公式 2.【例 2】计算： )(22ba解：原式= 333)( baba 我们得到：【公式 3】 (立方差公式)322)(ba请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式 1、2、3 均称为乘法公式【例 3
3、】计算：（1） （2）)416)(2m )4105)( 2nmnm（3） （4）162aa 22 yxyx - 2 -解：（1）原式= 3364m（2）原式= 38125)1(5( nn（3）原式= 64)(242 aaa（4）原式= 222 )() yxyyxyx 6363说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构（2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的【例 4】已知 ，求 的值0132x3x解： x原式= 18)3()1()( 2222 xx说明：本题若先从方程 中解出 的
4、值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐本题是根据条件式与013求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举【例 5】已知 ，求 的值cba11()()()abccab解： ,0原式 = bacbacca22)()( abcbab 3)(3)(223 ，把代入得原式=ca说明：注意字母的整体代换技巧的应用引申：同学可以探求并证明：)(3223 cabcbacabc 二、根式式子 叫做二次根式，其性质如下：(0)a(1) (2) 22|a - 3 -(3) (4) (0,)abab(0,)bab【例 6】化简下列
5、各式：(1) (2) 22(3)(31)22(1)() (1)xx解：(1) 原式= |3(2) 原式= (1)2)3 (2)|1|2| 1xxx 说明：请注意性质 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论|a【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数) ：(1) (2) (3) 321ab328xx解：(1) 原式= 2(23)()63(2) 原式=2abab(3) 原式= 22232xxxx说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整
6、式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如 )或被开方数有分母(如 )这时可将其化为 形式(如322xab可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以2x一个根式进行化简(如 化为 ，其中 与 叫做互为有理化因式) 323(2)23【例 8】计算：(1) (2) 2(1)()()ababab解：(1) 原式= 22()()21ab(2) 原式= 1()()aabbab - 4 -()()2abab说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算【例 9】设
7、，求 的值23,xy3xy解：2()74, 14,32 xy原式= 222()()3(3)70xyxyxy说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量三、分式当分式 的分子、分母中至少有一个是分式时， 就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除ABAB法法则；(2) 利用分式的基本性质【例 10】化简 1x解法一：原式= 222 (1)1(1)1xxxxx 解法一：原式= 22()1(1)(1)1xxxx 说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式
8、，解法二则是利用分式的基本性质 进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法AmB【例 11】化简2239617xx解：原式=22161(3)(3)2(3)(3)9)()xxxxx 212()3()()x说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 - 5 -A 组1二次根式 成立的条件是( )2aA B C D 是任意实数00a0aa2若 ，则 的值是( )3x296|6|xA B C D3计算：(1) (2) 2(4)yz 2(1)()2abab(3) (4) 2()abab44化简(下列 的取值范围
9、均使根式有意义 )：(1) (2) 38 1a(3) (4) ab 22315化简：(1) (2) 2191035mm2 (0)xyxyB 组1若 ，则 的值为( )：2xy3xyA B C D35553532计算：(1) (2) ()()abcabc1()23设 ，求代数式 的值1,23xy2xy4当 ，求 的值0(,)abab2ab5设 、 为实数，且 ，求 的值xy3xyyx练 习 - 6 -6已知 ，求代数式 的值11120,9,20axbxcx22abcabc7设 ，求 的值5428展开 4(2)x9计算 1(3)4x10计算 ()()yzyzzxyz11化简或计算：(1) 13(84)2(2) 21(5)3(3) 2xyxy(4) ()( )baba第一讲 习题答案A 组1 C 2 A3 (1) (2) 2916824xyzxyzy223541abab(3) (4) 23ab 31644 () 2ab5 2mxy - 7 -B 组1 D 2 3 2,3acba164 5 6 3 73,58 241xx9 43100410 4222xyzxyzy11 3,ba
