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1、2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲XXX.教师版 Page 1 of 27代几综合代几综合点睛提分4、动点与平行四边形问题兵法：1利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2利用全等或锐角三角函数求出点的坐标【例 1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，0）三 点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积 为 S求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值 （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线yx 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶点
2、的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的 坐标xyOBCMA【解析】（1）设抛物线的解析式为yax2bxc（a0） ，则有解得 02440416cbaccba4121 cba抛物线的解析式为yx 2x4 21（2）过点 M 作 MDx 轴于点 D，设 M 点的坐标为（m，m 2m4）212011 年.中考点睛提分课.第 1 讲XXX.教师版 Page 2 of 27xyOBCMAD则 ADm4，MDm 2m421S SAMDS梯形 DMBO SABO(m4)(m 2m4)(m 2m44)(m)4421 21 21 21 21m 24m（4m0）即 S m 24m(m2)24S 最大值4（
3、3）满足题意的 Q 点的坐标有四个，分别是：（4，4） ， （4，4）（2，2） ， （2，2）52525252【例 2】 如图，已知抛物线yax2bxc（a0）的顶点坐标为 Q（2，1） ，且与y轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧） ，点 P 是该抛物 线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合） ，过点 P 作 PDy 轴，交 AC 于点 D （1）求该抛物线的函数关系式； （2）当ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； （3）在题（2）的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A、P、E
4、、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明 理由【解析】（1）抛物线的顶点为 Q（2，1） ，设ya(x2)21C(0,3)OABxyDPQ(2,-1)2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲XXX.教师版 Page 3 of 27将 C（0，3）代入上式，得 3a(02)21a1 该抛物线的函数关系式为y(x2)21即yx24x3 （2）如图 1，有两种情况：OABxyDPQ(2,-1)(P1)(P2)D1D2H图 1当点 P 为直角顶点时，点 P 与点 B 重合令y0，得 x 24x30，解得 x11，x23 4 分点 A 在点 B 的右侧，B（1，0） ，A（3
5、，0） 5 分P1（1，0）6 分当点 A 为直角顶点时OAOC，AOC90，OAD245当D2AP290时，OAP245，AO 平分D2AP2又P2D2y轴，P2D2AO，P2、D2关于 x 轴对称设直线 AC 的函数关系式为ykxb，将 A（3，0） ，C（0，3）代入得：解得yx3D2在yx3 上，P2在yx24x3 上设 D2（x，x3） ，P2（x，x 24x3）(x3)(x 24x3)0，即 x 25x60解得 x12，x23（舍去）当 x2 时，yx 24x32 24231P2的坐标为 P2（2，1） （即为抛物线顶点） 9 分P 点坐标为 P1（1，0） ，P2（2，1）10
6、分（3）由题（2）知，当点 P 的坐标为 P1（1，0）时，不能构成平行四边形当点 P 的坐标为 P2（2，1） （即顶点 Q）时2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲XXX.教师版 Page 4 of 27如图 2，平移直线 AP 交 x 轴于点 E，交抛物线于点 FC(0,3)OABxyDPQ(2,-1)图 2F1F2E2(P2)E1当 APFE 时，四边形 APEF 是平行四边形P（2，1） ，可令 F（x，1）x 24x31，解得 x12，x2222故存在以 A、P、E、F 为顶点的平行四边形，点 F 的坐标为：F1（2，1） ，F2（2，1）22【例 3】 如图，在平面直角坐标系中
7、，抛物线经过 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，1） 三点 （1）求该抛物线的表达式； （2）点 Q 在y轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 Q、P、A、B 为顶点的四边形 是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标xyOBCA【解析】设该抛物线的表达式为yax2bxc，根据题意，得解得 10390ccbacba1 3231cba所求抛物线的表达式为yx 2x131 322011 年.中考点睛提分课.第 1 讲XXX.教师版 Page 5 of 27（2）当 AB 为边时，只要 PQAB，且 PQAB4 即可又知点 Q 在y轴上，点 P 的横坐标为 4 或4，这时，符合条件的点 P 有
8、两个当 x4 时，y；当 x4 时，y735xyOBCAP1P3Q3Q1P2Q2P1（4，） ，P2（4，7）35当 AB 为对角线时，只要线段 PQ 与线段 AB 互相平分即可又知点 Q 在y轴上，且线段 AB 中点的横坐标为 1点 P 的横坐标为 2，这时，符合条件的点 P 只有一个当 x2 时，y1P3（2，1）综上，满足条件的点 P 有三个，其坐标分别为：P1（4，） ，P2（4，7） ，P3（2，1）35【例 4】 已知抛物线yx2bxc 交y轴于点 A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为B（3，4） ，直线yx 与抛物线在第一象限的交点为 C，连结 OB41（1）求抛物线的解析式；
9、（2）如图（1） ，点 P 在射线 OC 上运动，连结 BP，设点 P 的横坐标为 x，OBP 的面积为y，求y与 x 之间的函数关系式； （3）如图（2） ，点 P 在直线 OC 上运动，点 Q 在抛物线上运动，试问点 P、Q 在运动过程中是否存在以 O、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若 存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由xyOABCP图（1）xyOABC图（2）xyOABC备用图2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲XXX.教师版 Page 6 of 27【解析】（1）B（3，4） ，点 A 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，A（0，4）把 A（0，4） 、
10、B（3，4）代入yx2bxc 得： 抛物线的解析式为yx23x4 （2）如图（1） ，连结 AB，作 PDy轴，则 D（0，x）41S梯形 ABPD ( x3 )(x4 )x 2x621 41 81 819SAOB 346，SDOP xxx 221 21 41 81yS梯形 ABPDSAOBSDOP x 819（3）平移线段 OB，使点 B 落在直线yx 上，落点为 P，点 O41落在抛物线上，落点为 Q，则四边形 OBPQ 为平行四边形设 P（x，x） ，O（0，0） ，B（3，4）41Q（x3，x4）41点 Q 在抛物线上，x4( x3 )23( x3 )441整理得：4x 237x400
11、，解得：x8 或 x45P1（8，2） ，P2（，）45 165平移线段 OB，使点 O 落在直线yx 上，落点为 P，点 B 落在抛物线上，落点41为 Q，则四边形 OBQP 为平行四边形设 P（x，x） ，O（0，0） ，B（3，4） ，Q（x3，x4）41 41点 Q 在抛物线上，x4( x3 )23( x3 )441整理得：4x 211x0，解得：x0（舍去）或 x411P3（，）411 1611平移线段 OP3，使点 P3与点 O 重合，则点 O 落在直线yx 上点 P4处，四边41形 OPBQ 为平行四边形P4（，）411 1611综上所述，符合条件的点 P 有 4 个，分别是：P
12、1（8，2） ，P2（，） ，45 165xyOB图（2）P2P3P1Q1P4Q2Q3(Q4)xyOABCPD图（1）2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲XXX.教师版 Page 7 of 27P3（，） ，P4（，）411 1611 411 1611【例 5】 如图，抛物线交 x 轴于点 A（2，0） ，点 B（4，0） ，交y轴于点 C（0，4） （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）若直线yx 交抛物线于 M，N 两点，交抛物线的对称轴于点 E，连接 BC，EB，EC试判断EBC 的形状，并加以证明； （3）设 P 为直线 MN 上的动点，过 P 作 PFED 交直
13、线 MN 下方的抛物线于点 F问：在直线 MN 上是否存在点 P，使得以 P、E、D、F 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请求出点 P 及相应的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）设抛物线的解析式为yax2bxc（a0）点 A、B、C 均在此抛物线上 所求的抛物线的解析式为yx 2x4 ，顶点 D 的坐标为（1，）21 29（2）EBC 的形状为等腰三角形 证明：（法一）直线 MN 的函数解析式为yxON 是BOC 的平分线 B、C 两点的坐标分别为（4，0） ， （0，4）COBO4MN 是 BC 的垂直平分线 CEBE即ECB 是等腰三角形 PF（法二）直线 MN 的函
14、数解析式为yxON 是BOC 的平分线COEBOE B、C 两点的坐标分别为（4，0） 、 （0，4）COBO4 又OEOECOEBOE CEBE2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲XXX.教师版 Page 8 of 27即ECB 是等腰三角形 （法三）点 E 是抛物线的对称轴 x1 和直线yx 的交点E 点的坐标为（1，1）利用勾股定理可求得 CE，BE2213 102213 10CEBE 即ECB 是等腰三角形 （3）解：存在 PFED要使以 P、E、D、F 为顶点的四边形是平行四边形，只要使 PFED点 E 是抛物线的对称轴 x1 和直线yx 的交点E 点的坐标为（1，1）ED1() 29 27点 P 是直线yx 上的动点设 P 点的坐标为（k，k）则直线 PF 的函数解析式为 xk点 F 是抛物线和直线 PF 的交点F 的坐标为（k，k 2k4）21PFk(k 2k4)k 24 21 21k 24k1 21
