数列求和的常见方法

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1、 1 等差数列求和公式： Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/22 等比数列求和公式：(1) Sn=1-qa1(1-qn) q1 q1 (2) Sn=1-qa1-anq当q=1时,Sn=na1方法一：公式法（直接求和法）an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质： an=am+(n-m)d性质： 性质：若an-k,an,an+k是an中的三项， 则2an=an-k+an+k 性质2：若bn-k,bn,bn+k是bn的三项，则 =bn-kbn+k性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq性质3：若n+m=p+q则bnbm=bpbq,性质：从原数列中取出偶数项组

2、 成的新数列公差为2d.(可推广)性质：从原数列中取出偶数 项，组成的新数列公比为 .(可推广) 性质: 若cn是公差为d的等差 数列，则数列an+cn是公差为 d+d的等差数列。 性质：若dn是公比为q的 等比数列,则数列bndn是公 比为qq的等比数列. 一、知识要点一、知识要点 等差（比）数列的性质等差（比）数列的性质 an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质6：数列an的前n项和为n成等差数列性质6：数列an的前n项和为n成等比数列性质:数列an的前n项和为n性质：数列an的前n项和为n练习：等差数列an中, 则此数列前20项的和等于（ ）A.160 B.180 C.2

3、00 D.220B解： + 得：换元法练习: 求和1. 1+2+3+n 答案: Sn=n(n+1)/22. 2+4+8+2n 答案: Sn=2n+1-2方法：直接求和法公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和 可采用公式法求和，常用的公式有：例1 求数列 x, 2x2,3x3, nxn， 的前n项和。 解：当x=0时 Sn=0当x=1时 Sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2 当x 0且x1时Sn=x+ 2x2+3x3+ + nxn xSn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)xn +nxn +1 得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化简得： S

4、n =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)0 (x=0)综合得 Sn= n(n+1)/2 (x=1)x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)(x 0且x1）小结 1:“错位相减法”求和,常应用于形如 anbn的数列求和,其中an为等差 数列, bn 为等比数列.练习 1求和: 1/2+2/4+3/8+n/2n方法:可以将等式两边同时乘以2或 1/2,然后利用“错位相减法”求和.例2：求和解：数列的通项公式为小结2： 本题利用的是“裂项相消法”，此法 常用于形如1/f(n)g(n)的数列求和， 其中f(n),g(n)是关于n（nN*)的一

5、次函数。 把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的项 ，最后剩下有限的几项。方法 ：对裂项公式的分析，通俗地 说，裂项，裂什么？裂通项 。此方法应注意 ：练习 2： 求和接下来可用“裂项相消法 ”来求和。分析 ：例 3：求和解：小结 3：本题利用的是“分组求和法”方法 ： 把数列的通项分解成几项，从 而出现几个等差数列或等比数 列，再根据公式进行求和。练习 3求和：1+（1+2）+（1+2+22)+(1+2+22+2n-1)分析：利用“分解转化求和”总结：直接求和（ 公式法）等差、或等比数列用求和公 式，常数列直接运算。 倒序求和等差数列的求和方法 错位相减数列 anbn的求和，其中an是 等差数列，bn是等比数列。 裂项相消分组求和法把通项分解成几项，从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。常见求和方法适用范围及方法数列1/f(n)g(n)的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。已知an的前n项和Sn=n2-4n+1，求|a1|+|a2|+|a10|=( ) 巩固练习(今日作业)：求的前项和求数列 的前项和(4)求和:（5）求和:（5）求和:(4)求和:解：两式相减得