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1、2010届高考数学二轮 复习系列课件 07 极限、导数 解答题的解法 应试策略 考题剖析 试题特点 极限、导数解答题的解法0306111.近年高考各试卷极限与导数考查情况统计2006年高考各地的18套试卷中,有14道导数题,其中考查求导法则的有 5道,考查极限的有5道,考查单调性的有8道,考查极值的有5道,与不等式综合的有5道,与函数综合的有6道.2007年高考各地的19套试卷中,每卷都涉及到导数问题,有7道涉及 到导数与不等式的综合,有15道涉及到函数.其中4道还涉及到函数的应用 需用导数来解决,有4道涉及到数列,主要是考导数解决函数的极值和单调 性问题,在这些试卷中尤以辽宁卷、湖南卷对导数
2、极限的考查要求较高, 辽宁有3道试题涉及到导数,而且是综合题。2008年高考各地试卷中,主要是考查:函数、数列、极限、导数综 合,函数、单调性、不等式、导数的综合,函数应用、概率、导数综合. 由此可见,对导数工具性的考查在增强,对导数综合运用要求在加强.试题特点极限、导数解答题的解法2. 主要特点(1)极限在初等数学与高等数学之间起着重要的衔接作用, 是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变, 因此在重点考查思维方法的高考命题中常把极限作为最好的命 题素材之一.(2)导数是中学选修内容中最为重要的内容,导数为解决函 数问题、曲线问题提供了一般性的方法,由于导数可与函数、 不等式等许
3、多知识进行整合,有利于在“知识网络交汇点”处 命题,合理设计综合多个知识点的试题,考查分类整合、数形 结合等数学思想方法,因此,近几年来加大了导数的考查力度. 主要有如下几方面:试题特点极限、导数解答题的解法应用导数求函数的单调区间,或判定函数的单调性;应用导数求函数的极值与最值; 应用导数解决实际问题; 应用导数解决有关不等式问题.(3)重视有限与无限思想的考查.客观世界是有限与无限的统一体,我们既可以通过有限来把握无限.也可以借助无限来确定有限,即“从与对立面的统一中去把握对立面”.数学归纳法、数列极限、函数极限等都是由有限把握无限的极好例证.随着高中数学课程改革的逐步深入,对有限与无限思
4、想的考查力度会不断加大,这是高考命题的一个新趋势.试题特点极限、导数解答题的解法应 试 策 略1.求数列极限的基本方法是,通过适当的化简或变形(如求和、求积、有理化分子或分母、分子分母同除n的最高次幂或同除分子或分母中底数绝对值最大的幂等),将复杂数列极限问题转化为简单数列极限问题,再利用 =0(k0)或qn=0(|q|1)等重要极限及四则运算法则,求出所求式的极限.解决数列的极限问题还应运用数列的有关知识与技能,注意结合直觉、联想、猜测及分类讨论等思维方法.应试策略极限、导数解答题的解法2.函数极限是数列极限的拓广、延伸.函数极限与数列极限有类似的四则运算法则,求函数极限的基本思想也是转化、
5、化归.实施转化时,可注意类比、借鉴求数列极限的一些方法与技能.3.求导数有两种方法:一是利用导数定义;二是利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导,常用后一种方法.极限、导数解答题的解法应试策略4.要重视导数在研究函数问题或实际问题时的应用.(1)求可导函数单调区间的方法:确定函数f(x)的定义域;求方程f(x)=0的解,这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间;研究各小区间上f(x)的符号,f(x)0时,该区间为增区间,反之则为减区间.应试策略极限、导数解答题的解法(2)求函数极值点时,可能出现极值的点是f(x)=0或使f(x)不存在的点,注意f(x)=0不是有极值的
6、充分条件.(3)连续函数在闭区间上必有最值,求最值时不要忘记极值与端点处的函数值的大小比较.(4)解最值应用题时,要认真审题,分析各量的关系,列出函数y=f(x), 并确定定义域,然后按照步骤求函数的最值,最后根据实际意义作答.若f(x)在定义域区间上只有一个极值点,则这个极值点一定是最值点.应试策略极限、导数解答题的解法考 题 剖 析考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法2.设首项为1,公比为q(q0)的等比数列的前n项和为Sn, 又Tn= , n=1,2,3,求 Tn.考题剖析极限、导数解答题的解法解析当q=
7、1时,Sn=n,Tn= , Tn=1.当q1时,Sn= ,Tn= ,当0q1时, qn=0, Tn=1.当q1时, Tn=综上所述, Tn=考题剖析极限、导数解答题的解法点评本题考查了等比数列前n项和及数列极限的求法,考查了分类与整合的思想方法.等比数列求和公式限制在q1的条件下,此题没有指出q1,故要对q进行讨论,在求 Tn时,必须求 qn, 只有当|q|1时有极限,而此题q0,故需对q进行讨论.考题剖析极限、导数解答题的解法3. (1)已知 ( n)=b,求a,b的值; (2)已知 = n, 求m,n的值.解析(1)原式= = 当且仅当a=3时,有极限,b= ,故所求a,b的值为a=3,b
8、= .考题剖析极限、导数解答题的解法(2) = n.可知x2+mx+2是含x+2的因式.x=2是方程x2+mx+2=0的根,代入求得m=3, n=1.点评本例是求极限的逆思维,思路新颖,方法灵活.考题剖析极限、导数解答题的解法4.(2007湖南张家界质检题)设a0,f(x)=x1ln2 x2alnx(x0).()令F(x)xf(x),讨论F(x)在(0,)内的单调性并求 极值;()求证:当x1时,恒有xln2x2alnx1.解析()根据求导法则有f(x)=1 ,x0,故F(x)=xf(x)=x2lnx+2a,x0,于是F(x)=1 ,x0. 列表如下:故知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2
9、,+)内是增函数,所以,在x=2处取得极小值F(2)=22ln2+2a.x(0,2)2(2,+) F(x)0+ F(x)极小值F(2)考题剖析极限、导数解答题的解法()证明:由a0知,F(x)的极小值F(2)=22ln2+2a0.于是由上表知,对一切x(0,+),恒有F(x)=x , f(x)0.从而当x0时,恒有f(x)0,故f(x)在(0,+)内单调增加.所以当x1时,f(x)f(1)=0,即x1ln2x+2alnx0.故当x1时,恒有xln2x2alnx+1.点评本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力.考题
10、剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法点评:本题涉及到了导数公式的逆向考 查,这就要求在平时的教学中要注重逆向 思维的培养,另外本题还考查了对称、求 范围这些高中数学的重点与难点。考纲 要求“掌握利用导数求极值和最值,同 时还要了解导数与原函数的关系”。考题剖析极限、导数解答题的解法6.已知函数f(x)=ax3+bx23x, 其图象在横坐标为1的两点处的切线均与x轴平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)对于区间1,1上任意两个自变量的值x1, x2,都有
11、|f(x1)f(x2)|k,试求k的最小值;(3)若过点A(1,m)(m2)可且仅可作曲线y=f(x)的一条切线,求实数m的取值范围. 考题剖析极限、导数解答题的解法解析(1) f(x)=3ax2+2bx3,依题意,f(1)=f(1)=0即 解得a=1,b=0. f(x)=x33x. (2)f(x)=x33x, f(x)=3x23=3(x+1)(x1)当 1x1时,f(x)0,故f(x)在区间1,1上为减函数,f(x)max=f(1)=2, f(x)min=f(1)=2对于区间1,1上任意两个自变量的值x1, x2都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|2(2)=4. 即 |
12、f(x1)f(x2)|max=4.k4 k的最小值为4 .考题剖析极限、导数解答题的解法(3)f(x)=3x23=3(x+1)(x1)曲线方程为y=x33x,点A(1,m)不在曲线上.设切点为M(x0, y0),则点M的坐标满足y0=x303x0因f(x0)=3(x201),故切线的斜率为k=3(x201)=kAM=整理得2x303x20+m+3=0(*注:也可以先写出切线方程,然后将点A的坐标代入得到左式)过点A(1,m)仅可作曲线的一条切线,关于x0方程2x303x20+m+3=0有且仅有一个实根.考题剖析极限、导数解答题的解法设g(x0 ) = 2x303x20+m+3,则g(x0 )
13、= 6x206x0,令g(x0)0得x01或x00, 令g(x0)0得0x01函数g(x0 ) = 2x303x20+m+3在区间(,0)和(1,+)为增函数,在(0,1)上为减函数,g(x0)的极大、极小值点分别为x0=0, x0=1g(x)不是单调函数,关于x0方程2x303x20+m+3 = 0有且仅有一个实根的充要条件是:g(x)极大=g(0)=m+30,m3或g(x)极小=g(1)=2+m0, m2故所求的实数a的取值范围是m|m3或m2点评只有深刻理解概念的本质,才能灵活应用概念解题.解决这类问题的关键是等价变形.考题剖析极限、导数解答题的解法7.(2007成都市质检二)已知函数f
14、(x)= (mR, e=2.718 28是自然对数的底数).()求函数f(x)的极值;()当x0时,设f(x)的反函数为f 1(x), 对0pq,试比较 f (qp)、f1(qp)及f1(q)f1(p)的大小.解析()当x0时,f(x)=ex1在(0,+)上单调递增,且f(x)=ex10;当x0时,f(x)= x3+mx2,此时f(x)=x2+2mx=x(x+2m).考题剖析极限、导数解答题的解法(1)若m=0时,f(x)=x20, 则f(x)= x3在(,0上单调递增,且f(x)= x30.又f(0)=0,可知函数f(x)在R上单调递增,无极值.(2)当m0,令f(x)=x(x+2m)0x0或x2m.(舍去)函数f(x)= x3+mx2在(,0上单调递增,同理,函数f(x)在R上单调递减,无极值. 考题剖析极限、导数解答题的解法(3)若m0, 令f(x)=x(x+2m)0 x0或x2m.函数f(x)= x3+mx2在(,2m上单调递增,在(2m,0上单调递减.此时函数f(x)在x=2m处取得极大值:f(2m)= m3+4m3= m30;又f(