高等数学数列的综合应用

《高等数学数列的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学数列的综合应用（93页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第1页 *6.5 数列的综综合应应用第2页 *高 效 梳 理gao xiao shu li,课前必读知识备考第3页 *等差、等比交汇，考查数列的综合问题.以递推关系为背景，考查数列的通项与前n项和.数列与函数、不等式交汇，考查数列的综合应用.以实际问题为背景，考查数列的应用.第4页 *(1)解答数列应应用题题的步骤骤审题审题 仔细阅读细阅读 材料，认认真理解题题意建模将已知条件翻译译成数学(数列)语语言，将实际问题实际问题转转化成数学问题问题 ，弄清该该数列的特征、要求是什么求解求出该问题该问题 的数学解还还原将所求结结果还还原到原实际问题实际问题 中第5页 *(2)数列应应用题题常见见模型等

2、差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时时，该该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时时，该该模型是等比数列，这这个固定的数就是公比第6页 *(3)与银银行利率相关的几类类模型银银行储储蓄单单利公式利息按单单利计计算，本金为为a元，每期利率为为r，存期为为x，则则本利和ya(1xr)，属于等差模型.银银行储储蓄复利公式按复利计计算利息的一种储储蓄，本金为为a元，每期利率为为r，存期为为x，则则本利和ya(1r)x，属于等比模型产值产值 模型原来产值产值的基础础数为为N，平均增长长率为为p，对对于时间时间 x的总产值总产值 yN(1p)

3、x.第7页 *(4)递递推数列模型：如果题题目中给给出的前后两项项之间间的关系不固定，是随项项的变变化而变变化时时，应应考虑虑是an与an1的递递推关系，还还是前n项项和Sn与Sn1之间间的递递推关系(5)分期付款模型设贷设贷 款总额为总额为 a，年利率为为r，等额还额还 款数为为b，分n期还还完，则则ba.第8页 *(5)分期付款模型设贷设贷 款总额为总额为 a，年利率为为r，等额还额还 款数为为b，分n期还还完，则则b第9页 *,考 点 自 测kao dian zi ce,课前热身基础备考第10页 *1已知等差数列an的公差d0，它的第1、5、17项顺项顺 次成等比数列，则这则这 个等比数

4、列的公比是( )答案：B第11页 *第12页 *2已知a，b，c，d成等比数列，且曲线线yx22x3的顶顶点是(b，c)，则则ad等于( )A3 B2 C1 D2答案：B解析：由于a，b，c，d成等比数列，所以有bcad.曲线yx22x3(x1)22的顶点为(1,2)，所以b1，c2，所以adbc2.第13页 *3数列an的通项项公式是关于x的不等式x2xnx(nN*)的解集中的整数个数，则则数列an的前n项项和Sn( )答案：C第14页 *第15页 *4某种产产品三次调调价，单单价由原来的每克512元降到216元，则这则这 种产产品平均每次降价的百分率为为_解析：设平均每次降价百分率为x，则

5、512(1x)3216，x0.25.答案：25%第16页 *5莱因德纸纸草书书是世界上最古老的数学著作之一书书中有一道这样这样 的题题目：把100个面包分给给5个人，使每人所得第17页 *解析：设公差为d(d0)，则5份分别为202d,20d,20,20d,202d，则7(202d20d)20(20d)(202d)，第18页 *题 型 突 破ti xing tu po,互动探究方法备考第19页 *题型一ti xing yi,等差数列与等比数列的综合【例1】已知等差数列an中，a11，公差d0，且a2，a5，a14分别别是等比数列bn的第二项项、第三项项、第四项项(1)求an、bn的通项项公式；

6、第20页 *解析：(1)等差数列an中的a2，a5，a14分别是等比数列bn的第二、三、四项，且a11，(1d)(113d)(14d)2，d2，an2n1.又公比q3，a2b23，b11，bnb1qn113n13n1.故an2n1，bn3n1.第21页 *第22页 *第23页 *创新预测1 已知各项均为正数的数列an前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列(1)求数列an的通项公式；第24页 *解析：(1)由题意知2anSn2，an0，当n1时，2a1a12，a12.当n2时，Sn2an2，Sn12an12，第25页 *数列an是以2为首项，2为公比的等比数列ana12n122n

7、12n.第26页 *第27页 *题型二ti xing er,以递推关系为背景的数列的综合第28页 *第29页 *第30页 *第31页 *第32页 *第33页 *第34页 *又anan10，anan12(n2)，数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，an32(n1)2n1.第35页 *(3)Tn321522(2n1)2n0，又2Tn0322(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn3212(22232n)(2n1)2n16822n1(2n1)2n1(2n1)2n12，Tn(2n1)2n12.第36页 *题型三ti xing san,数列与函数、不等式的综合第37页 *第38页 *(2)由(1)得

8、an4n2202logabn，bna2n11.结合指数函数的性质，当0a1时，由a2n111，得n5.5，显然不存在满足条件的自然数m；当a1时，由a2n111，得n5.5，存在m6,7,8，使当nm时bn1成立，m的最小值是6.第39页 *第40页 *解析：原不等式的解集为x|0xn1，nN*，因此ann.第41页 *第42页 *第43页 *题型四ti xing si,数列与实际问题的综合【例4】我国是一个人口大国，随着时间时间 推移，老龄龄化现现象越来越严严重，为缓为缓 解社会和家庭压压力，决定采用养老储备储备金制度，公民在就业业的第一年就交纳纳养老储备储备 金，数目为为a1，以后每年交纳

9、纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历历年所交纳纳的储备储备 金数目a1，a2，an是一个公差为为d的等差数列与此同时时，国家给给予优优惠的计计息政策，不仅仅采用固定利率，而且计计算复利这这就是说说，如第44页 *果固定年利率为为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳纳的储备储备 金就变为变为 a1(1r)n1，第二年所交纳纳的储备储备 金就变变为为a2(1r)n2，以Tn表示第n年末所累计计的储备储备 金总额总额(1)写出Tn与Tn1(n2)的递递推关系式；(2)求证证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列第45页 *解析：(1)由题意可得TnTn1(1r)an(

10、n2)(2)T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，第46页 *第47页 *创新预测4 某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？第48页 *解析：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1128，q1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7a1q61281.561 458(辆)第49页 *第50页 *对 接 高

11、考dui jie gao kao,试题调研方向备考第51页 *1(2010石家庄市质检二)已知数列an满满足a11，an12an(1)n(nN*)第52页 *第53页 *第54页 *第55页 *第56页 *第57页 *第58页 *第59页 *第60页 *第61页 *第62页 *第63页 *高 效 作 业gao xiao zuo ye,自我测评技能备考第64页 *一、选择题答案：B第65页 *第66页 *2某工厂总产值总产值 月平均增长长率为为p，则则年平均增长长率为为( )Ap B12pC(1p)12 D(1p)121答案：D第67页 *解析：设1月份产值为1，年平均增长率为x，依题意得第68

12、页 *3某人为为了观观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银银行存入a元的定期储储蓄，若年利率为为p且保持不变变，并约约定每年到期，存款的本息均自动转为动转为 新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则则可取出钱钱(元)的总总数为为( )Aa(1p)4Ba(1p)5答案：D第69页 *解析：依题意，可取出钱的总数为第70页 *4(2009福建龙岩模拟)在等比数列an中，a12，前n项项和为为Sn，若数列an1也是等比数列，则则Sn( )A2n12 B3nC2n D3n1答案：C第71页 *解析：因数列an为等比数列，则an2qn1，因数列an1也

13、是等比数列，则(an11)2(an1)(an21)a2an1anan2anan2anan22an1an(1q22q)0q1，即an2，所以Sn2n.第72页 *5抛物线线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴轴交点分别为别为 An，Bn(nN*)，以|AnBn|表示该该两点的距离，则则|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|的值值是( )答案：B第73页 *解析：令y0，则(n2n)x2(2n1)x10，设两根分别为x1，x2.第74页 *第75页 *答案：B第76页 *第77页 *二、填空题5第78页 *第79页 *第80页 *14第81页 *解析：由于f(x)tanxsinx，显然该

14、函数为奇函数第82页 *第83页 *第84页 *第85页 *三、解答题10(2009广东六校联考)一辆邮辆邮 政车车自A城驶驶往B城，沿途有n个车车站(包括起点站A和终终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发发往该该站的邮邮袋各一个，同时时又要装上该该站发发往后面各站的邮邮袋各一个，设该车设该车 从各站出发时邮发时邮 政车车内的邮邮袋数构成一个有穷穷数列ak(k1,2,3，n)试试求：(1)a1，a2，a3.(2)邮邮政车车从第k站出发时发时 ，车车内共有邮邮袋数多少个？(3)求数列ak的前k项项和Sk.第86页 *解析：(1)由题意得a1n1，a2(n1)(n2)1，a3(n1)(n2)(n3)12.第87页 *(2)从第k站出发时，放上的邮袋共：(n1)(n2)(nk)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共：123(k1)个，故ak(n1)(n2)(nk)12(k1)第88页 *(3)akknk2，Sk(n2nkn)(1222k2)第89页 *11已知二次函数f(x)ax2bx的图图象过过点(4n,0)且f(0)2n，(nN*)(1)求f(x)的解析式；