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1、第3章 信号与噪声v信号分类：确定信号和随机信号。v确定信号常采用傅立叶分析的方法；随机信号要用随机过程的理论来 描述。噪声属于随机信号。v3.1 确定信号的频谱分析v确定信号：表征信号的所有参数都是确定的。v1 傅立叶级数v周期性信号v vn = 0，1，2，T-信号周期v用复（指数）数表示。复数傅立叶级数形式v式中第3章 信号与噪声v【例】幅度为A，宽度为，周期为T的脉冲序列，用指数傅立叶级数展 开。v解: 在一个周期内，v利用Fn 表达式，并令v0=2/T，有v上式利用了Sa( x )=sinx/x。第3章 信号与噪声v给定周期信号f(t)，可以确定它的频谱；反之亦然。可用这两种彼此等
2、价的关系确定一个周期性信号。在时间域中，作为时间的函数定义f(t) ；在频率域中，按照它的频谱确定此信号。一般，Fn是一个复数。由Fn确定f(t)第n次谐波的幅度，它与频率之 间的关系图形称为信号的幅度频谱。它不连续，仅存在于0的整数倍处 ，称为离散频谱。v2. 傅立叶变换v非周期性信号，其级数v即傅立叶变换式。F（）叫做f ( t )的频谱密度函数，简称频谱。f(t)与 F () 是一一对应的关系。f ( t )给定后，F ()便是确定的；反之亦然。 由 f(t) 求 F()的过程叫做傅立叶（正）变换，而由F () 求f(t)的过程称 为第3章 信号与噪声v傅立叶反变换。f (t)与F ()
3、组成傅立叶变换对，记作v v一般，如果f ( t )在每个有限区间都满足狄里赫利条件，且下式成立，v则其傅立叶变换F()存在。这是充分条件而不是必要条件。有些信号并 不满足这些条件，但它们存在傅立叶变换。例如冲激函数( t ) 。v【例】求图示脉冲的频谱v 解:v 第3章 信号与噪声v【例】求图所示信号的傅立叶变换。v解: ( t ) 单位冲激函数或狄拉克函数。vt = 0处幅度为无限大v设f( t )是一个在t = 0处连续的任意函数，f (t)与( t )乘积的积分v称为单位冲激函数的筛选性质或抽样性质。可将f (0 )值取出。v求()第3章 信号与噪声v3.2信号的能量谱密度与功率谱密度
4、v1.能量谱密度 v（1）能量信号v一个有界的、持续时间有限的信号，信号能量为有限值，全部时间的 平均功率为零，这种信号叫做能量信号。v通常把能量信号f(t)的归一化能量（简称能量）定义为由电压f(t)加于 单位电阻 (或电流f (t)通过单位电阻) 所耗散的能量，即 v设能量信号f(t)的频谱为 ，则 第3章 信号与噪声v交换积分次序 v对于实函数f ( t ) v所以v（2）能量谱密度 v对上式中的 ，定义 第3章 信号与噪声v叫f ( t )的能量谱密度。能量v上式表明，信号的能量等于()曲线下的总面积。故()是能量 密度的测度，单位为焦耳/赫，它代表信号能量沿频率轴的分布。 v 实信号
5、()是的偶函数，因此 v2.功率谱密度 v（1）功率信号v周期信号在 的全部时间内存在，因此它有无限的能量， 但平均功率为有限值，这种信号叫做功率信号。通常把周期信号在单 位第3章 信号与噪声v电阻上所消耗功率的平均值称为周期信号的归一化平均功率，简称功率 。v周期为T的周期信号f ( t )，其瞬时功率等于| f ( t )|2，在周期T 内的平均 功率 vf *( t ) f ( t )的复共轭，v结论：周期信号的归一化平均功率（总功率）值等于信号所有谐波分量 幅度的平方之和，即等于各个频率分量单独贡献出的功率之和。第3章 信号与噪声v（2）功率谱密度v如果f ( t )为时间无限的信号，
6、若用f T ( t )代表f ( t )在区间上的截短函数第3章 信号与噪声v只要T为有限值， 就具有有限的能量。设 v能量v平均功率v当 ， 趋于一个极限，将它定义为信号的功率谱密度，用符第3章 信号与噪声v号Sf ()表示v单位为瓦/赫。v平均功率v表明：信号的功率谱密度S f ()代表信号的功率沿频率轴的分布。实信号 ，Sf ()=Sf ()，Sf ()是个偶函数，于是 v 第3章 信号与噪声v33 卷积与相关 v1. 卷积v卷积表述对两个（或多个）函数之积进行变换的运算法则， v（1) 卷积积分v给定两个函数f1( t )和f2( t )，定义积分v叫做f1( t )和f2( t )的
7、卷积。表示为v（2） 图解说明 v步骤：第3章 信号与噪声v 1）折叠 将f2 () 绕纵轴折叠，得f2 (-) ；v 2）位移 把f2 (-) 沿轴移动t1，得f2 (t1-) ；v 3）相乘 将f1 () 与f2 (t1-) 相乘 ；v 4）积分 求乘积函数曲线下的面积，即t1时刻的卷积值。 v（3） 卷积的代数定律v 1)交换律 f1( t )*f2( t )= f2( t )*f1( t ) v 2)分配律f1(t)*f2(t)+f3( t )= f1( t )*f2( t ) + f1( t )*f3( t )v 3)结合律 f1( t )* f2( t )*f3( t )= f1(
8、 t )*f2( t )*f3( t ) v（4） 包含冲激函数的卷积v 函数f ( t )和单位冲激函数( t )的卷积得出函数f ( t )本身，第3章 信号与噪声第3章 信号与噪声v推广： v(1)v(2)v(3)v （5） 卷积定理1）时间卷积定理第3章 信号与噪声v若 ， ， 则v2）频率卷积定理v若 ， ，则v结论：时域中两函数的卷积等效于在频域中它们频谱的乘积；时域中两 个函数的乘积等效于在频域中它们频谱的卷积。v2. 相关v信号之间相似性或关联性的一种测度。设两个信号f1( t ) 和 f2( t )，定义v叫相关积分。 f1( t ) 和 f2( t )不同，是互相关积分。
9、f1( t ) 和 f2( t )相同， 是自相关积分，v对于实信号，f *(t) = f (t), 第3章 信号与噪声第3章 信号与噪声v（1） 相关定理v1）时域相关定理v若 ， v则vF()2是信号的能量谱密度。v结论：能量信号的自相关函数与其能量谱互为傅立叶变换。v对于功率信号v结论：功率信号的功率谱与其自相关函数互为傅立叶变换。 第3章 信号与噪声v2）频域相关定理v若 ，v则v（2） 自相关函数的性质v1） 能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量v2） 对所有有第3章 信号与噪声v34 信号通过线性系统的传输 vf ( t )表示为冲激和，当t = 时，冲激强度为f() 。v令
10、h( t )为系统对于单位冲激( t )的响应，系统对于f ()(t- )的响应 便是f () h (t- )。系统对于f ( t )的响应v若v ， ，v根据时间卷积定理第3章 信号与噪声v vH()系统的传输函数。v无失真传输v无失真系统的传输函数v相移v系统的带宽|H ()|最大值的 倍v(3db)之间的频率范围，即2-1。第3章 信号与噪声v35 随机信号分析v随机信号：信号参数不确定，不能预先确定信号在任意时刻的取值，取 值具有随机性。 v例如话音信号、计算机产生的“1”、“0”序列等都是随机的。消息信号在 接收之前，无法确切知道其波形。系统存在噪声或干扰，这也使得传输 信号具有随机
11、性。v1. 随机过程的概念 v无数台性能相同的接收机的波形n1( t )、vn2( t )、 n3( t ) 、 nN( t )。每条曲v线都是一个随机起伏的时间函数，称v为随机函数。无穷多随机函数的总体在v统计学中称为随机过程，随机过程中每v一个随机函数叫做随机过程的一次实现v或样本函数。，第3章 信号与噪声v在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声，它们的值不同。时刻t1 是一个随机量。同样，时刻t2是另一个随机量。时间不同，随机量也不 同，即随机量是一个变量，称为随机变量，它是时间的函数。v随机过程的含义：v它是一个时间函数；v每个时刻的函数值不是确定的，即随机的，该值按照一定的概率分
12、布 。v时间是离散的，这种随机过程叫做随机序列。计算机产生的信号就是随 机序列，而通信系统中热噪声就是随机过程。v2. 平稳随机过程v随机过程X(t)，如果它的n维概率密度函数pn(x1, x2, xn；t1, t2,tn) 与时间起点的选择无关，对于任何n 和，X( t )的n 维概率密度函数满 足vpn(x1,x2,，xn；t1，t2，tn)=pn(x1，x2,，xn；t1+,t2+,，tn +) v称为平稳随机过程。对于某个n值成立，称为n 阶平稳随机过程。若对第3章 信号与噪声v所有阶都是平稳的，则称为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。v数学期望和方差与时间t无关，自相关函数只与时间差
13、有关，这样的随 机过程称为广义平稳的随机过程。严平稳过程必然也是广义平稳过程。v平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关v二维概率密度函数只与时间差有关v通信系统中所遇到的随机信号和噪声绝大多数是平稳随机过程，以后讨 论除特殊说明外，都假定为广义平稳随机过程。v平稳性的特点：所有样本曲线都在某一水平直线周围随机地波动，且可 以用数字特征来判断。v3. 随机过程的数字特征v求取数字特征的方法：“统计平均”和“时间平均”。第3章 信号与噪声v（1） 统计平均v随机过程某一特定时刻不同实现的可能取值，用统计方法得出的平均值 叫统计平均，用E表示。v平稳过程除相关函数取决于两个时刻的间隔外，其它统计平
14、均量为与 时间t无关的常数。 v1） 均值（数学期望）v随机过程在任意时刻t 取值所组成随机变量的统计平均值称为随机过程 的均值或数学期望。vp( x )是一维概率密度函数。均值代表随机过程的摆动中心。v2） 均方值第3章 信号与噪声v3）方差v等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在某时刻取值所得随 机变量对于该时刻均值的偏离程度。当均值m X = 0时v均值和方差是刻划随机过程在各个孤立时刻统计特性的重要数字特征。v4) 相关函数v设X( t1)和X( t2)是随机过程X( t )在任意两个时刻t1和t2的状态，p(x1, x2 ；t1,t 2)=p(x1, x2；)是相应的二维概率
15、密度函数，v称为随机过程X( t )的自相关函数，简称相关函数。它反映了随机过程两个不同观测时刻取值的关联程度。 第3章 信号与噪声v当= 0v（2） 时间平均v随机过程X( t )的某一特定实现，对时间求平均叫时间平均，定义为v1）平均值（或直流分量）v设x( t )是随机过程X( t )的一个典型的样本函数，样本函数的时间平均v2）均方值（或总平均功率）v3）方差（或交流功率）第3章 信号与噪声v4）自相关函数v样本函数x( t )的时间自相关函数定义为v当= 0时v4.平稳随机过程的遍历性v设X( t )是一个平稳随机过程，如果它的统计平均可用时间平均来代替， 即v它的统计方差可用时间方差
