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1、 第4章静定结构的位移计算Calculation of Statically Displacement Structures4-1 结构位移和虚功的概念4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法4-3 静定结构由荷载所引起的位移4-4 图乘法4-5 互等定理目 录产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差以上都是绝对位移4-1 结构位移和虚功的概念计算位移的目的：(1)刚度验算，(2)超静定结构分析的基础。位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。以上都是相对位移广义位移=AV+BVW=F2、广义力与广义位移：作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广
2、义力F。与位移有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是功。即：W=F1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。 3）若广义力是等值、反向、共线的一对力PPPttABBA这里是与广义力相应的广义位移。 表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。1、功： AB这里是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角3、实功与虚功实功是力在自身引起的位移上所作的功。 实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。4）若广义力是一对等值、反
3、向的力偶 mABmmBAmmWj+j=5）若广义力是一对等值、反向、不共线的力 Pdsdsdsdsdsdsdsdsds内力虚功：位移状态力状态4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法一、变形体系虚功原理：设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的连续变形（位移状态），则力状态的外力在变形状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作虚功（虚应变能）。外力虚功虚应变能虚功原理两种应用：1、虚位移原理 :实际力+虚设位移2、虚力原理：实际位移+虚设力求实际力求实际位移二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：K1外虚功：内虚功
4、：实际状态（位移状态）虚拟状态（力状态）适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。三、位移计算的一般步骤:K1实际变形状态虚力状态(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2) 求虚力状态下的内力及反力表达式;(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllCABP=1/ lP=1/llABP=
5、1/ lP=1/ ll（ ）AB杆的转角AB连线的转角 AB杆和AC杆的 相对转角研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。 一、计算步骤（1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k-为截面形状系数1.2(3) 荷载作用下的位移计算公式4-3 静定结构由荷载引起的位移二、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架（2）桁架（3）拱（4）桁，梁混合结构梁式杆链式杆qACB(a) 实际状态P=1 ACB(b) 虚设状态AC段例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移。1）列出两种状态的内力方程：CB段
6、2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段qACBP=1 ACB设为矩形截面 k=1.23）讨论:比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比 , 由材料力学公式 。 设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式PP11 11.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2 计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5A
7、DDC DE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABCDEFG例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载PddsP=1PP=1虚拟荷载3）位移公式为dds2）实际荷载12001DDMND4001DMQD2=DMN ARI412=DDMQ R2h2 GAREIk可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略。h101R如钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12Pl/2l/2EIABx1 x2例4：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=12）MP 须分段写PlPlMPP=1xlxMPx
8、试用单位荷载法求出梁的挠曲线。kidsEIMM=kiCEI dxMMEI1=P EIydxEIMM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkM dxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0x0y0=x0tg4-4 图乘法 表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。 竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。积分常可用图形相乘来代替几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2
9、labhl/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2MPMPP=1llqAB例5：求梁B点转角位移。例6：求梁B点竖向线位移。3l/4PPaaaPaPaMPP=13a/4a/2a/2当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或 M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。例7：求图示梁中点的挠度
10、。？Pl/2l/2C例8：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l 6EIPl 123 =Pl EIC212 =DEIPl 4853 =Pl 65 ll EIy C22210=w5Pl/6？非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形()bcadbdacl+=226 dc+32 3bl+2dc +332al=2yydxMMki+=2211wwabdcl/3l/3l/31 2y1y2MiMkh1h2labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)非标准抛物线乘直线形h1h2232dchl+各种曲线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。（1
11、）3264952.5（2） 326492.512364（3）910.5（4）236 90.53E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010= 3.6465 104 N m2例9：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。q=625 N/m2.2m0.8mABC解：q=2500010.025625 N/ m200 378P=10.8MPq=625N/m2.2m0.8mABC1y13y32y2例10、求A
12、B两点的相对水平位移。36189MPP=1P=1636kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常数9 9 99999)()=EI-756+332 2318 -+ EI643636311 + - 2639632( +-+-= EI6183363182636266136189MPP=1P=1636kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常数9 9 999qllEIB1ql2/83ql2/2 MPl例11、求B点竖向位移。4kN4kN.m 2kN/m12kN.m4m4mEIAB例12、求B端转角。5kN12844MPkN.m1kN.m5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCD
13、EF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020例13、求A点水平位移。m5m5m5m5m5m2kN/ m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510202kN10101020P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2例14、求B点的竖向位移。EIqlllql EIB843 231142 =ylql EIB283 31 2102 +=Lq ？ql2/8l/2？ql2/32y0P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2EIql 256174 =lllql EI25 . 023232 212+-lqllqllqllqll EI82228222
14、65 . 0212222 +lql EIlB43 2831122=q ql2/8l/2ql2/32y0例15、求D点的竖向位移。PPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P例16 试求等截面简支梁C截面的转角。ql/5 4l/52ql2/25ql2/8 MP11/54/5=qllqll1258532 252 52122 +-lql EIC21 83212 =qEIql 100333 =1应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。P1P2F1F2N1 M1 Q1N2 M2 Q2一、功的互等定理+dsGAQkQ EIMM EANN121212=FW1221+=dsGAQkQ EIMM EANN212121=PW21124-5 互等定理二、位移互等定理P1P22112jij ijPd=PP=121212PP=212121称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即： W12= W21P1P2位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起
