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1、电动力学第8讲第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(2)2.2 静电势的多极展开 *1山东大学物理学院 宗福建教学体系Date2山东大学物理学院 宗福建Maxwell方程组Date3山东大学物理学院 宗福建Maxwell方程组Date4山东大学物理学院 宗福建静电场的标势 在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏 方程组的电场部分为 Date5山东大学物理学院 宗福建静电场的标势 定义电势 差 因此，电场 强度E等于电势 的负梯度 Date6山东大学物理学院 宗福建标势 的Poisson方程Date7山东大学物理学院 宗福建静电场的标势 若电荷连续分布， 电荷密度为 ，设 r为由源点x 到场 点x的
2、距离，则场点 x处的电势为 Date8山东大学物理学院 宗福建上一讲习题简答第72页，第14题。Date9山东大学物理学院 宗福建上一讲习题简答+h/2处放置一个+q，-h/2处放置一个-q两电荷相聚h，总电偶极距为p=qhDate10山东大学物理学院 宗福建上一讲习题简答解：电偶极子的电 势 Date11山东大学物理学院 宗福建本讲主要内容电势的多极展开电多极矩Date12山东大学物理学院 宗福建泰勒级数展开Date13山东大学物理学院 宗福建电势的多极展开 在1中我们导出了真空中给定电荷密 度 （x ） 激发的电势 式中体积分遍及电荷分布区域，r为源 点x 到场点x的距离。 Date14山
3、东大学物理学院 宗福建电势的多极展开 在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区 域内，而需要求电场强度的地点x又距离电荷 分布区域比较远，即r远大于区域V的线度l 。 在这种情况下，可以表示为 1/ r 的展开式， 由此得出电势 的各级近似值。例如原子核 的电荷分布于 10 15 m线度的范围内，而 原子内电子到原子核的距离10 10 m ，因 此原子核作用到电子上的电场可以用本节方 法求得各级近似值。 Date15山东大学物理学院 宗福建电势的多极展开 在区域V内取一点 O作为坐标原点， 以R表示由原点到 场点P的距离x 点在区域V内变 动。由于区域线度 远小于R，可以把 x 各分量看作小参
4、量，把 x x 的函 数对 x 展开。 Date16山东大学物理学院 宗福建电势的多极展开 在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示 由原点到场点P的距离，有 x 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R ，可以把 x 各分量看作小参量，把 x x 的函数对 x 展开。 Date17山东大学物理学院 宗福建电势的多极展开 设 f（x x）为 x x 的任一函数，在 x点附近 f（x x）的展开式为 Date18山东大学物理学院 宗福建电势的多极展开 Date19山东大学物理学院 宗福建电势的多极展开 Date20山东大学物理学院 宗福建电势的多极展开 Date21山东大学物理学院 宗福建电势的多
5、极展开 Date22山东大学物理学院 宗福建电多极矩 展开式的第一项 是在原点的点电荷Q激发的电势。因此 作为第0级近似，可以把电荷体系看作 集中于原点上 。Date23山东大学物理学院 宗福建电多极矩 展开式的第二项 是电偶极矩p产生的电势。 Date24山东大学物理学院 宗福建电多极矩 展开式的第三项 是电四极矩D产生的电势。 Date25山东大学物理学院 宗福建电偶极矩如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的 电偶极矩为零。若 点x 和 x 点有相同的 电荷密度，则积分值为零。因此，只有对原 点不对称的电荷分布才有电偶极矩。总电荷为零而电偶极矩不为零的最简单的电 荷体系是一对正负点电荷。设
6、 x 点上有一 点电荷 +Q ， x 点上有一点电荷 Q ，这 体系的电偶极矩为 l为由负电荷到正电荷的距离。 Date26山东大学物理学院 宗福建电偶极矩右图具有偶极 矩 pz = Ql的 电偶极子，它 产生的电势为 Date27山东大学物理学院 宗福建电偶极矩由图，若 l R ，有 Date28山东大学物理学院 宗福建电偶极矩由图，若 l R ，有 Date29山东大学物理学院 宗福建电偶极矩因此这电偶极子产生的电势是 Date30山东大学物理学院 宗福建电四极矩 展开式的第三项 是电四极矩D产生的电势。 Date31山东大学物理学院 宗福建电四极矩 根据此式，电四极矩张量 D ij 是对
7、称张量，它由6个分量 D 11 ,D 22 , D 33 , D 12 = D 21 , D 23 = D 32 , D 31 = D 13 。（下面将看出 实际上只有5个独立分量。）现在我们来谈论这些分量的物理意义。 Date32山东大学物理学院 宗福建电四极矩 如右图，z轴上一对 正电荷和一对负电 荷组成的体系。这 体系可以看作由一 对电偶极子 +p和 p组成。设正电荷 位于 z = b , 负 电荷位于 z = a。 这体系的总电荷为 零，总电偶极矩为 零。 Date33山东大学物理学院 宗福建电四极矩 它的电四极矩 其中p = Q（b a）是其中一对电荷的 电偶极矩，l = b + a
8、是两个电偶极子中 心的距离。 Date34山东大学物理学院 宗福建电四极矩 这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子 所产生的电势。 Date35山东大学物理学院 宗福建电四极矩 这电荷体系产生的电势是一对反向电偶 极子所产生的电势。 Date36山东大学物理学院 宗福建电四极矩 同理，具有 D 11 分量的最简单的电荷体系由 x轴上两对正负电荷组成，具有 D 22 分量的 体系由y轴上两对正负电荷组成。具有 D 12 分量的电荷体系由xy平面上两对正负电荷组 成，余类推。 Date37山东大学物理学院 宗福建教材第66页，图2-13，右上角D23应改为D33。Date38山东大学物理学院 宗福
9、建电四极矩下面我们证明电四极矩只有5个独立分 量。当 R 0 时有 引入符号 ij ，定义为 Date39山东大学物理学院 宗福建电四极矩Date40山东大学物理学院 宗福建Date41山东大学物理学院 宗福建Date42山东大学物理学院 宗福建电四极矩电四极矩D,有6个分量： D11,D22,D33,D12,D23,D31因而只有5个独立分量。以后我们将沿 用如下定义式，此式用并矢形式写为 Date43山东大学物理学院 宗福建电四极矩若电荷分布有球对称性，则 因而 D11 =D22 = D33 = 0，而且显然有 D12 = D23 = D31 = 0，因此球对称电荷分布没有 电四极矩。 D
10、ate44山东大学物理学院 宗福建电四极矩球对称电荷分布的电场也是球对称的，由高 斯定理可知，球外电场和集中于球心处的点 电荷电场一致，因此球对称电荷分布没有各 级电多极矩。反之，若电荷分布偏离球对称 性，一般就会出现电四极矩。例如沿z轴方 向拉长了的旋转椭球体，若其内电荷分布均 匀，则 Date45山东大学物理学院 宗福建电四极矩因而出现电 四极矩电四极矩的出现标 志着对球对称的偏 离，因此我们测 量远场 的四极势项 ， 就可以对电 荷分布形状做出一定的推 论。在原子核物理中，电四极矩是重要 的物理量，它反映这原子核形变的大小 。 Date46山东大学物理学院 宗福建电四极矩八极矩和更高的多
11、极矩实 际上较少用到，这里不详 细讨论。 Date47山东大学物理学院 宗福建例题均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a ，半短轴为b，带总电荷Q，求它的电 四极矩和远处的电势。 解 取z轴为旋转轴，椭球方程为 Date48山东大学物理学院 宗福建例题椭球所带电荷密度为 电四极矩为 Date49山东大学物理学院 宗福建例题由对称性 Date50山东大学物理学院 宗福建例题由对称性 因此 Date51山东大学物理学院 宗福建例题令 x2 +y2 =s2 ，由对称性Date52山东大学物理学院 宗福建例题因此 Date53山东大学物理学院 宗福建例题电四极矩产生的势为 Date54山东大学物理学院 宗福建例题椭球的电偶极矩为零，总电 荷为Q 。 在远处 的势准确至四极项为 Date55山东大学物理学院 宗福建分析Date56山东大学物理学院 宗福建分析Date57山东大学物理学院 宗福建分析Date58山东大学物理学院 宗福建分析Date59山东大学物理学院 宗福建本讲总结Date60山东大学物理学院 宗福建本讲总结Date61山东大学物理学院 宗福建课下作业教材第73页第17题Date62山东大学物理学院 宗福建
