材料力学-第9章 扭转

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1、Shanghai University材料力学第第9 9章章材料力学材料力学扭转扭转杆的两端承受大小相等、方向相反、作杆的两端承受大小相等、方向相反、作 用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任 意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与 变形形式称为扭转（变形形式称为扭转（torsiontorsion）。）。本章主要分本章主要分 析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻 横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时 的强度与刚度设计方法。的强度与刚度设计方

2、法。 第第9 9章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上圆轴扭转横截面上 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 引言引言 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 第第9 9章章 扭转扭转 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 引言引言第第9 9章章 扭转扭转请判断哪一杆件请判断哪一杆件 将发生扭转？将发生扭转？当两只手用力相等时，当两只手用力相等时， 拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭 转。转。 引言引言第第9 9章章 扭转扭转 引言引言第第9 9章章 扭转扭转Meme（c）（a

3、）MeMeFF（b）Me更多的实例更多的实例 引言引言第第9 9章章 扭转扭转变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对杆件的各横截面环绕轴线发生相对 的转动。的转动。受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，在杆的两端垂直于杆轴的平面内， 作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。任意两横截面间相对转过的角度。 动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第9 9章章 扭转扭转 动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第9 9章章 扭转扭转作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴 计算

4、中，通常给出传动功率计算中，通常给出传动功率P P和转速和转速n n，则传动轴所受的外加扭则传动轴所受的外加扭 力矩力矩MMe e可用下式计算：可用下式计算： 其中其中P P为功率，单位为为功率，单位为千瓦千瓦（kWkW）；）；n n为轴的转速，单位为为轴的转速，单位为转转/ / 分分（r/minr/min）。）。如果功率如果功率P P的单位用马力（的单位用马力（1 1马力马力=735.5 N=735.5 N m/sm/s），），则则外加扭力矩外加扭力矩MMe e确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力 扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力

5、矩MMe e作用时，横截面上将产生分布剪作用时，横截面上将产生分布剪 应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩, ,称为扭矩（称为扭矩（twist twist momentmoment），用），用MMx x表示。表示。 + +MMe eMMe en nMMe eMMx xMMx x 动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第9 9章章 扭转扭转n nMMe eMMx x_ _MMx x如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方 向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外向所有横截面上的扭矩都是相同

6、的，都等于作用在轴上的外 力偶矩。力偶矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图扭矩图(diagram (diagram of of torsion torsion moment)moment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相 似。似。当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴 各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各 段横截面上的扭矩。段横截面上的扭矩。 动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第9 9章章 扭转

7、扭转例题例题 1 1圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩 的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单 位为mm。试试 ：画出圆轴的扭矩图。 动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第9 9章章 扭转扭转解：解：1 1确定控制面外加力偶处截面A、 B、C、D均为控制面。 2 2应用截面法，由平衡 方程确定各段圆轴内的扭矩 。 动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第9 9章章 扭转扭转3 3建立Mxx坐标系， 画出扭矩图建立Mxx坐标系，其 中x轴平行于圆轴的轴线， Mx轴垂直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩值，标 在Mxx坐标系中，得到相 应的点，过这些点作x轴的平 行线，即得到所

8、需要的扭矩 图。 动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第9 9章章 扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 第第4 4章章 扭转扭转薄壁圆筒：壁厚（r0为平均半径）一、薄壁圆筒扭转时的切应力（实验）：1.实验前：绘纵向线，圆周线；施加一对外力m。第第9 9章章 扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律薄壁圆管的扭转应力薄壁圆管的扭转应力2、实验后：圆周线不变；纵向线倾斜同一个角度，变成平行的螺旋线。3、结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边

9、形。第第9 9章章 扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律5、薄壁圆筒剪应力 大小：假定平均分布 ,方向垂直于半径. A0：平均半径所作圆的面积。acddxbdy4、 分析矩形变成平行四边形,各边长不变,所以 两侧截面上只有切应力,无正应力.(实 际上与扭矩对应的应力只能是切应力)第第9 9章章 扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律xyzdxdydz第第9 9章章 扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 微元能不能平衡？微元能不能平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？

10、怎样才能平衡？根据力偶平衡理论根据力偶平衡理论xyzdxdydz 第第9 9章章 扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力成对定理剪应力成对定理在两个互相垂直的平面在两个互相垂直的平面 上，剪应力必然成对存在，且上，剪应力必然成对存在，且 数值相等，两者都垂直于两个数值相等，两者都垂直于两个 平面的交线，方向则共同指向平面的交线，方向则共同指向 或共同背离这一交线，这就是或共同背离这一交线，这就是 剪应力成对定理剪应力成对定理（pairing pairing principle of shear stressesprinciple of shear stress

11、es）。）。xyzdxdydz 第第9 9章章 扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 O O剪切胡克定律剪切胡克定律当在弹性范围内加载时，剪当在弹性范围内加载时，剪 应力与剪应变成正比应力与剪应变成正比: :这种线性关系称为剪切胡克定律。这种线性关系称为剪切胡克定律。 比例常数比例常数G G称为材料的切变模量。称为材料的切变模量。第第9 9章章 扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 第第9 9章章 扭转扭转应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面

12、上的内力分量 扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了 确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道 横截面上的剪应力是怎样分布的。横截面上的剪应力是怎样分布的。 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布平面假定平面假定物性关系物性关系静力方程静力方程确定横截面上剪应力确定横截面上剪应力 的方法与过程的方法与过程 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 平面假定平面

13、假定 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 平面假定平面假定 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面 依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转 过一角度。这一假定称为平面假定。过一角度。这一假定称为平面假定。 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转

14、 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 变形协调方程变形协调方程 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据 上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同 的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半 径越小者剪应变越小。 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得 到如下几何关系： 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 圆轴扭转

15、横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转剪切胡克定律剪切胡克定律 O O 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 静力学方程静力学方程 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转式中式中 GIGIP P扭转刚度；扭转刚度；I IP P横截面的极惯性矩。横截面的极惯性矩。 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式剪应力表达式 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第9 9章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力